Nos exercícios de 37 a 40, construa uma distribuição de frequência acumulada e uma ogiva para os conjuntos de dados usando 6 classes. Então, descreva a localização do maior aumento na frequência.
Ligações em telefones celulares
Conjunto de dados: duração (em minutos) de uma amostra de ligações em telefones celulares:
1 & 20 & 10 & 20 & 13 & 23 & 3 & 7 & 18 & 7 & 4 & 5 \
15 & 7 & 29 & 10 & 18 & 10 & 10 & 23 & 4 & 12 & 8 & 6

Passo 1

O enunciado dá a amostra de durações (em minutos) de ligações celulares e pede duas coisas: construir a distribuição de frequência acumulada usando 6 classes e construir a ogiva (gráfico da frequência acumulada). Depois devo descrever onde ocorre o maior aumento na frequência (ou seja, em qual classe a frequência é maior).
Informações fornecidas (peguei os números do enunciado): a amostra é
1,\;20,\;10,\;20,\;13,\;23,\;3,\;7,\;18,\;7,\;4,\;5,\;15,\;7,\;29,\;10,\;18,\;10,\;10,\;23,\;4,\;12,\;8,\;6.
O tamanho da amostra é n=24. O enunciado exige exatamente 6 classes.

Passo 2

Determinar os limites da amostra e a largura de classe. Primeiro encontro o mínimo e o máximo:
\min = 1,\qquad \max = 29.
A amplitude (alcance) é \max-\min = 29-1 = 28. Se usar k=6 classes, a largura de classe teórica é
h = \frac{\max-\min}{k}=\frac{28}{6}\approx 4{,}666\ldots
Em prática de construção de classes costuma-se arredondar h para cima a fim de cobrir todos os dados de forma simples. Vou usar h=5 minutos por classe (é um arredondamento natural e dá intervalos inteiros fáceis de trabalhar).

Passo 3

Escolher as classes cobrindo todo o intervalo [1,29]. Com h=5 e começando em 1, as classes escolhidas são (vou usar intervalos inteiros consecutivos cobrindo todos os valores):
\text{Classe 1: }1\text{–}5,\quad \text{Classe 2: }6\text{–}10,\quad \text{Classe 3: }11\text{–}15,
\text{Classe 4: }16\text{–}20,\quad \text{Classe 5: }21\text{–}25,\quad \text{Classe 6: }26\text{–}30.
Observação sobre inclusão: cada observação cujo valor x satisfaz a\le x\le b entra na classe a\text{–}b. Essas classes cobrem [1,30], portanto incluem todos os dados até 29.

Passo 4

Contar a frequência absoluta em cada classe. Vou listar quais valores da amostra caem em cada classe e depois somar:
  • Classe 1\text{–}5: valores 1,\;3,\;4,\;4,\;5. Frequência f_1=5.
  • Classe 6\text{–}10: valores 6,\;7,\;7,\;7,\;8,\;10,\;10,\;10,\;10. Frequência f_2=9.
  • Classe 11\text{–}15: valores 12,\;13,\;15. Frequência f_3=3.
  • Classe 16\text{–}20: valores 18,\;18,\;20,\;20. Frequência f_4=4.
  • Classe 21\text{–}25: valores 23,\;23. Frequência f_5=2.
  • Classe 26\text{–}30: valor 29. Frequência f_6=1.
Confirmação da soma: 5+9+3+4+2+1 = 24, que é o tamanho da amostra n.

Passo 5

Construir a frequência acumulada (soma acumulada das frequências de baixo para cima). A frequência acumulada F_i até a classe i é definida por
F_i = \sum_{j=1}^{i} f_j.
Calculo passo a passo:
F_1 = f_1 = 5,
F_2 = f_1+f_2 = 5+9 = 14,
F_3 = 14+3 = 17,
F_4 = 17+4 = 21,
F_5 = 21+2 = 23,
F_6 = 23+1 = 24.
Assim a distribuição acumulada fica (classe \Rightarrow frequência acumulada):
1\text{–}5:\;F_1=5,\quad 6\text{–}10:\;F_2=14,\quad 11\text{–}15:\;F_3=17,
16\text{–}20:\;F_4=21,\quad 21\text{–}25:\;F_5=23,\quad 26\text{–}30:\;F_6=24.

Passo 6

Como construir a ogiva (passo a passo para desenhar no papel ou no software): a ogiva é o gráfico da frequência acumulada em relação aos limites superiores das classes. Os pontos a plotar (limite superior da classe, frequência acumulada) são:
(5,\;5),\\ (10,\;14),\\ (15,\;17),\\ (20,\;21),\\ (25,\;23),\\ (30,\;24).
Procedimento para desenhar a ogiva:
  • No eixo horizontal (abscissas) marque os limites superiores 5,10,15,20,25,30.
  • No eixo vertical (ordenadas) marque as frequências acumuladas de 0 a 24.
  • Plote cada ponto (\text{limite superior},F_i) e una os pontos por segmentos de reta em ordem crescente de limite superior.
  • Opcionalmente, comece a ogiva no limite inferior com F=0 (por exemplo em x=0 ou em x=1) para fechar o gráfico à esquerda; isso depende da convenção, mas os pontos dados acima são a essência da ogiva.

Passo 7

Identificar a localização do maior aumento na frequência. O maior aumento na frequência acumulada entre limites sucessivos corresponde à maior frequência absoluta em uma classe. As diferenças entre F_i consecutivos são precisamente as frequências f_i. Temos
f_1=5,\; f_2=9,\; f_3=3,\; f_4=4,\; f_5=2,\; f_6=1.
O maior valor é f_2=9. Portanto o maior aumento ocorre na classe 6\text{–}10. Em termos percentuais, essa classe contém
\frac{9}{24}=0{,}375=37{,}5\%
da amostra. Interpretação prática: há um salto de 9 observações na ogiva ao passar do limite 5 para 10, indicando que a maior concentração de durações está entre 6 e 10 minutos.

Passo 8

Resumo rápido e dica para a prova: para questões assim, calcule sempre primeiro \min,\max e h=(\max-\min)/k, arredonde h convenientemente, defina claramente as classes, conte frequências e some acumulando. A ogiva usa os limites superiores contra a frequência acumulada; o maior salto da ogiva revela a classe modal por frequência absoluta.

Resposta

1\text{–}5:\;F=5,\quad 6\text{–}10:\;F=14,\quad 11\text{–}15:\;F=17,\quad 16\text{–}20:\;F=21,\quad 21\text{–}25:\;F=23,\quad 26\text{–}30:\;F=24
Maior aumento na classe 6\text{–}10 (incremento 9 observações, ou 37{,}5\% da amostra).

Exercícios relacionados