Nos Exercícios 39 e 40, encontre a seqüência de matrizę elementares E_{1}, E_{2} \ldots, E_{k} tais que E_{k} \cdots E_{2} E_{1} A=I. Use essa seqüência para escrever A e A^{-1} como produtos de matrizes elementares.
A=\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar matrizes elementares E_{1},E_{2},\dots,E_{k} tais que
E_{k}\cdots E_{2}E_{1}A = I,
onde
A = \begin{pmatrix}2 & 4 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Isso equivale a reduzir A à matriz identidade por operações elementares de linha; cada operação corresponde a multiplicar A à esquerda pela respectiva matriz elementar. Depois obtemos
A^{-1} = E_{k}\cdots E_{2}E_{1} \quad\text{e}\quad A = E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}\cdots E_{k}^{-1}.

Passo 2

Queremos primeiro tornar o pivô (1,1) igual a 1. Aplicamos a operação
R_{1}\gets\frac12\,R_{1}.
A matriz elementar correspondente é
E_{1} = \begin{pmatrix}\tfrac12 & 0 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix},
e
E_{1}A = \begin{pmatrix}\tfrac12 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Em seguida zeramos a entrada abaixo do pivô, posição (2,1), com
R_{2}\gets R_{2}-R_{1}.
A matriz elementar é
E_{2} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] -1 & 1\end{pmatrix},
e
E_{2}(E_{1}A) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora fazemos o pivô (2,2) igual a 1, aplicando
R_{2}\gets -1\,R_{2}.
A matriz elementar é
E_{3} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & -1\end{pmatrix},
e
E_{3}\bigl(E_{2}E_{1}A\bigr) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Por fim, zeramos a entrada acima do pivô (1,2) com
R_{1}\gets R_{1}-2\,R_{2}.
A matriz elementar é
E_{4} = \begin{pmatrix}1 & -2 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix},
e
E_{4}\bigl(E_{3}E_{2}E_{1}A\bigr) = \begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = I.]

Passo 6

Da redução temos
E_{4}E_{3}E_{2}E_{1}A = I,
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A^{-1} = E_{4}E_{3}E_{2}E_{1}, \qquad A = E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}E_{3}^{-1}E_{4}^{-1}.
As inversas das matrizes elementares são
E_{1}^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_{2}^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\quad E_{3}^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},\quad E_{4}^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

E_{1}=\displaystyle\begin{pmatrix}\tfrac12 & 0 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\; E_{2}=\displaystyle\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix},\; E_{3}=\displaystyle\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]0 & -1\end{pmatrix},\; E_{4}=\displaystyle\begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
A^{-1} = E_{4}E_{3}E_{2}E_{1} = \displaystyle\begin{pmatrix}-\tfrac12 & 2 \\[4pt]\tfrac12 & -1\end{pmatrix}.
A = E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}E_{3}^{-1}E_{4}^{-1} = \displaystyle\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

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