(a) Prove que, se A é invertível e B A=C A, então B=C.
(b) Dê um contra-exemplo para mostrar que o resultado da parte (a) pode falhar se A não for invertível.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Na parte (a), temos matrizes A,B,C sobre um corpo (por exemplo, \mathbb R) e a hipótese de que A é invertível e
B\,A = C\,A.
Precisamos mostrar que aí segue B=C. O conteúdo é a noção de matriz invertível e a lei de cancelamento da multiplicação matricial.
Na parte (b), queremos um exemplo em que A não seja invertível e ainda tenhamos B\,A = C\,A mas não B=C.

Passo 2

Como A é invertível, existe matriz A^{-1} tal que
A\,A^{-1} = I,
onde I é a matriz identidade. Agora basta multiplicar a igualdade
B\,A = C\,A
pela direita por A^{-1}. Fica
B\,(A\,A^{-1}) \;=\; C\,(A\,A^{-1})
B\,I = C\,I
B = C.
Isso encerra a prova da parte (a).

Passo 3

Para a parte (b), como A não é invertível, não podemos multiplicar por A^{-1} (ele não existe) e, portanto, a etapa de cancelamento pode falhar. Basta escolher um caso simples, em que B\,A e C\,A coincidam, mas B\neq C.

Passo 4

Escolha, por exemplo, matrizes 2\times2:
A = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}2 & 0\\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
Então A é claramente não invertível e
B\,A = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix} = C\,A,
mas B\neq C. Isso mostra que, sem a invertibilidade de A, não vale a lei de cancelamento.

Resposta

(a) Multiplicando B\,A = C\,A à direita por A^{-1} obtém-se B = C.
(b) Por exemplo, com
A = 0_{2\times2},\quad B=I_2,\quad C=2I_2
temos B\,A = 0 = C\,A mas B\neq C.

Exercícios relacionados