(a) Prove que, se A é invertível e B A=C A, então B=C.
(b) Dê um contra-exemplo para mostrar que o resultado da parte (a) pode falhar se A não for invertível.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Na parte (a), temos matrizes A,B,C sobre um corpo (por exemplo, \mathbb R) e a hipótese de que A é invertível e
B\,A = C\,A.
Precisamos mostrar que aí segue B=C. O conteúdo é a noção de matriz invertível e a lei de cancelamento da multiplicação matricial.
Na parte (b), queremos um exemplo em que Anão seja invertível e ainda tenhamos B\,A = C\,A mas nãoB=C.
Passo 2
Como A é invertível, existe matriz A^{-1} tal que
A\,A^{-1} = I,
onde I é a matriz identidade. Agora basta multiplicar a igualdade
B\,A = C\,A
pela direita por A^{-1}. Fica
B\,(A\,A^{-1}) \;=\; C\,(A\,A^{-1})
B\,I = C\,I
B = C.
Isso encerra a prova da parte (a).
Passo 3
Para a parte (b), como A não é invertível, não podemos multiplicar por A^{-1} (ele não existe) e, portanto, a etapa de cancelamento pode falhar. Basta escolher um caso simples, em que B\,A e C\,A coincidam, mas B\neq C.
Passo 4
Escolha, por exemplo, matrizes 2\times2:
A = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}2 & 0\\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.