[2,5 pt] Encontre a área da superfície dada pela porção do cilindro F(x, y, z)=x^{2}+y^{2}=9, entre os planos z=0
2. 5 e z=1. Dica: Considere o diferencial de superfície d \sigma na forma parametrizada.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície lateral do cilindro x^{2}+y^{2}=9 entre os planos z=0 e z=1. O conteúdo é cálculo de área de superfície via parametrização.

Passo 2

Parametrizamos a superfície usando \theta e z:
\mathbf r(\theta,z) = \bigl(3\cos\theta,\;3\sin\theta,\;z\bigr), \quad 0 \le \theta \le 2\pi,\; 0 \le z \le 1.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes e seu produto vetorial:
\mathbf r_\theta = \frac{\partial\mathbf r}{\partial\theta} = (-3\sin\theta,\;3\cos\theta,\;0), \quad \mathbf r_z = \frac{\partial\mathbf r}{\partial z} = (0,0,1).
\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z = (3\cos\theta,\;3\sin\theta,\;0),
\bigl\|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\bigr\| = \sqrt{(3\cos\theta)^2+(3\sin\theta)^2} =3.

Passo 4

O elemento de área é
d\sigma = \|\mathbf r_\theta \times \mathbf r_z\|\,d\theta\,dz = 3\,d\theta\,dz.
Logo a área total é
A = \int_{z=0}^{1}\!\!\int_{\theta=0}^{2\pi}3\,d\theta\,dz.

Passo 5

Efetuando a integração:
A = 3 \times \bigl(2\pi\bigr)\times 1 = 6\pi.

Resposta

6\pi

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