Nos Exercícios 40-45, calcule a integral.
\int_{0}^{t}\left(3 s \mathbf{i}+6 s^{2} \mathbf{j}+9 \mathbf{k}\right) d s

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a integral definida da função vetorial
\int_{0}^{t}\bigl(3 s\,\mathbf{i}+6 s^{2}\,\mathbf{j}+9\,\mathbf{k}\bigr)\,ds.
  • Pede calcular essa integral em função de t.

Passo 2

Regras e ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Integração de funções vetoriais é feita componente a componente. Ou seja, se \mathbf{F}(s)=F_x(s)\,\mathbf{i}+F_y(s)\,\mathbf{j}+F_z(s)\,\mathbf{k}, então
\int_{0}^{t}\mathbf{F}(s)\,ds=\left(\int_{0}^{t}F_x(s)\,ds\right)\mathbf{i}+\left(\int_{0}^{t}F_y(s)\,ds\right)\mathbf{j}+\left(\int_{0}^{t}F_z(s)\,ds\right)\mathbf{k}.
  • Regra do fator constante: \displaystyle\int a\cdot g(s)\,ds=a\int g(s)\,ds, para constante a.
  • Regra do poder (power rule): para n\neq-1,
\int s^{n}\,ds=\frac{s^{n+1}}{n+1}+C.
  • Para integral definida \displaystyle\int_{0}^{t}f(s)\,ds, primeiro encontramos uma primitiva F(s) e depois avaliamos F(t)-F(0) (Teorema Fundamental do Cálculo).

Passo 3

Integral da componente \mathbf{i}:
\int_{0}^{t}3s\,ds = 3\int_{0}^{t}s\,ds.
Usando a regra do poder com n=1:
\int s\,ds=\frac{s^{2}}{2}.
Portanto
3\int_{0}^{t}s\,ds=3\left[\frac{s^{2}}{2}\right]_{0}^{t}=3\cdot\frac{t^{2}}{2}-3\cdot\frac{0^{2}}{2}=\frac{3}{2}t^{2}.

Passo 4

Integral da componente \mathbf{j}:
\int_{0}^{t}6s^{2}\,ds = 6\int_{0}^{t}s^{2}\,ds.
Usando a regra do poder com n=2:
\int s^{2}\,ds=\frac{s^{3}}{3}.
Portanto
6\int_{0}^{t}s^{2}\,ds=6\left[\frac{s^{3}}{3}\right]_{0}^{t}=6\cdot\frac{t^{3}}{3}-6\cdot\frac{0^{3}}{3}=2t^{3}.

Passo 5

Integral da componente \mathbf{k}:
\int_{0}^{t}9\,ds = 9\int_{0}^{t}1\,ds.
Integral de constante:
\int 1\,ds = s.
Logo
9\int_{0}^{t}1\,ds=9[s]_{0}^{t}=9t-9\cdot 0=9t.

Passo 6

Juntando as três componentes (porque a integração é componente a componente):
\int_{0}^{t}\bigl(3 s\,\mathbf{i}+6 s^{2}\,\mathbf{j}+9\,\mathbf{k}\bigr)\,ds =\frac{3}{2}t^{2}\,\mathbf{i}+2t^{3}\,\mathbf{j}+9t\,\mathbf{k}.
Verificação rápida (opcional mas útil na prova): derivando esse resultado em t obtém-se
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{3}{2}t^{2}\,\mathbf{i}+2t^{3}\,\mathbf{j}+9t\,\mathbf{k}\right) =3t\,\mathbf{i}+6t^{2}\,\mathbf{j}+9\,\mathbf{k},
que é exatamente o integrando avaliado em s=t, conforme esperado pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}t^{2}\,\mathbf{i}+2t^{3}\,\mathbf{j}+9t\,\mathbf{k}

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