Nos Exercícios 40-45, calcule a integral.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a integral definida da função vetorial
- Pede calcular essa integral em função de
.
Passo 2
Regras e ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Integração de funções vetoriais é feita componente a componente. Ou seja, se
, então
- Regra do fator constante:
, para constante . - Regra do poder (power rule): para
,
- Para integral definida
, primeiro encontramos uma primitiva e depois avaliamos (Teorema Fundamental do Cálculo).
Passo 3
Integral da componente
:
Usando a regra do poder com
:
Portanto
Passo 4
Integral da componente
:
Usando a regra do poder com
:
Portanto
Passo 5
Integral da componente
:
Integral de constante:
Logo
Passo 6
Juntando as três componentes (porque a integração é componente a componente):
Verificação rápida (opcional mas útil na prova): derivando esse resultado em
obtém-se
que é exatamente o integrando avaliado em
, conforme esperado pelo Teorema Fundamental do Cálculo.