Nos Exercícios 40-45, calcule a integral.
\int_{-2}^{2}\left(u^{3} \mathbf{i}+u^{5} \mathbf{j}+u^{7} \mathbf{k}\right) d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{2}\big(u^{3}\mathbf{i}+u^{5}\mathbf{j}+u^{7}\mathbf{k}\big)\,du.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é de -2 até 2.
  • A função integranda é um vetor cujas componentes escalares são u^{3}, u^{5} e u^{7} multiplicadas pelas bases \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}.
  • A tarefa é encontrar o valor numérico (vetorial) da integral definida.

Passo 2

Regra básica que vamos usar: a integral de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja,
\int_{a}^{b}\big(f(u)\mathbf{i}+g(u)\mathbf{j}+h(u)\mathbf{k}\big)\,du = \left(\int_{a}^{b}f(u)\,du\right)\mathbf{i}+\left(\int_{a}^{b}g(u)\,du\right)\mathbf{j}+\left(\int_{a}^{b}h(u)\,du\right)\mathbf{k}.
Aqui isso significa que podemos calcular três integrais escalares separadas: \int_{-2}^{2}u^{3}\,du, \int_{-2}^{2}u^{5}\,du e \int_{-2}^{2}u^{7}\,du, e depois recombinar com \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}.

Passo 3

Vamos lembrar a regra da potência para antiderivadas (fórmula fundamental que usamos para integrar polinômios): para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração (não precisamos do C nas integrais definidas, só da primitiva). Verificação rápida: derivando \dfrac{u^{n+1}}{n+1} obtém-se u^{n}, então a fórmula está correta.
Aplicando essa regra às nossas três potências:
\int u^{3}\,du=\frac{u^{4}}{4},\qquad \int u^{5}\,du=\frac{u^{6}}{6},\qquad \int u^{7}\,du=\frac{u^{8}}{8}.

Passo 4

Agora avaliamos cada primitiva no intervalo de -2 a 2. Para uma integral definida usamos
\int_{-2}^{2}u^{n}\,du=\left[\frac{u^{n+1}}{n+1}\right]_{u=-2}^{u=2}=\frac{2^{\,n+1}}{n+1}-\frac{(-2)^{\,n+1}}{n+1}.
Observação útil (economiza contas): quando n é ímpar, u^{n} é função ímpar, isto é, u^{n}=-(-u)^{n}. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico [-a,a] vale 0. Aqui n=3,5,7 são ímpares, portanto cada integral escalar deve ser zero. Ainda assim, vamos mostrar a conta direta para uma componente para ficar bem claro.
Componente \mathbf{i}:
\int_{-2}^{2}u^{3}\,du=\left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{-2}^{2}=\frac{2^{4}}{4}-\frac{(-2)^{4}}{4}=\frac{16}{4}-\frac{16}{4}=4-4=0.
Componente \mathbf{j}:
\int_{-2}^{2}u^{5}\,du=\left[\frac{u^{6}}{6}\right]_{-2}^{2}=\frac{2^{6}}{6}-\frac{(-2)^{6}}{6}=\frac{64}{6}-\frac{64}{6}=0.
Componente \mathbf{k}:
\int_{-2}^{2}u^{7}\,du=\left[\frac{u^{8}}{8}\right]_{-2}^{2}=\frac{2^{8}}{8}-\frac{(-2)^{8}}{8}=\frac{256}{8}-\frac{256}{8}=0.
Como cada componente dá zero, o vetor resultante é o vetor nulo.

Passo 5

Interpretação curta e motivadora: deu tudo zero porque cada componente é uma função ímpar integrada num intervalo simétrico [-2,2]. Esse é um truque rápido que vale muito em provas: sempre verifique simetrias antes de fazer muita conta. Você ganha tempo — e confiança!

Resposta

0\mathbf{i}+0\mathbf{j}+0\mathbf{k}

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