Nos Exercícios 40-45, calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O intervalo de integração é de
até . - A função integranda é um vetor cujas componentes escalares são
, e multiplicadas pelas bases , , . - A tarefa é encontrar o valor numérico (vetorial) da integral definida.
Passo 2
Regra básica que vamos usar: a integral de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja,
Aqui isso significa que podemos calcular três integrais escalares separadas:
,
e
, e depois recombinar com
.
Passo 3
Vamos lembrar a regra da potência para antiderivadas (fórmula fundamental que usamos para integrar polinômios): para
,
onde
é a constante de integração (não precisamos do
nas integrais definidas, só da primitiva). Verificação rápida: derivando
obtém-se
, então a fórmula está correta.
Aplicando essa regra às nossas três potências:
Passo 4
Agora avaliamos cada primitiva no intervalo de
a
. Para uma integral definida usamos
Observação útil (economiza contas): quando
é ímpar,
é função ímpar, isto é,
. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico
vale
. Aqui
são ímpares, portanto cada integral escalar deve ser zero. Ainda assim, vamos mostrar a conta direta para uma componente para ficar bem claro.
Componente
:
Componente
:
Componente
:
Como cada componente dá zero, o vetor resultante é o vetor nulo.
Passo 5
Interpretação curta e motivadora: deu tudo zero porque cada componente é uma função ímpar integrada num intervalo simétrico
. Esse é um truque rápido que vale muito em provas: sempre verifique simetrias antes de fazer muita conta. Você ganha tempo — e confiança!