Nos Exercícios 40-45, calcule a integral.
\int_{0}^{1}\left\langle\frac{1}{1+s^{2}}, \frac{s}{1+s^{2}}\right\rangle d s

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida do vetor função no intervalo de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left\langle\frac{1}{1+s^{2}},\;\frac{s}{1+s^{2}}\right\rangle ds.
Informações dadas:
  • O integrando é o vetor \left\langle\frac{1}{1+s^{2}},\frac{s}{1+s^{2}}\right\rangle.
  • O intervalo de integração é s\in[0,1].
  • A pergunta é: qual é o vetor resultado dessa integral?

Passo 2

Primeiro conceito importante (fácil e essencial): a integral de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se \mathbf{F}(s)=\langle f(s),g(s)\rangle, então
\int_{a}^{b}\mathbf{F}(s)\,ds=\left\langle\int_{a}^{b}f(s)\,ds,\;\int_{a}^{b}g(s)\,ds\right\rangle.
Isso vale porque a integral é linear e cada componente é uma função real comum. Logo, aqui precisamos calcular separadamente
I_1=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+s^{2}}\,ds \qquad\text{e}\qquad I_2=\int_{0}^{1}\frac{s}{1+s^{2}}\,ds,
e então montar \langle I_1,I_2\rangle.

Passo 3

Calcular I_1=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{1+s^{2}}\,ds.
A fórmula conhecida (e útil) é: a derivada de \arctan s é \dfrac{d}{ds}\arctan s=\dfrac{1}{1+s^{2}}. Portanto \arctan s é uma primitiva de \dfrac{1}{1+s^{2}}. Assim
I_1=\left[\arctan s\right]_{0}^{1}=\arctan(1)-\arctan(0).
Sabendo que \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} e \arctan(0)=0, obtemos
I_1=\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Calcular I_2=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{s}{1+s^{2}}\,ds.
Aqui é natural usar a substituição u=1+s^{2}. Então
du=2s\,ds \quad\Rightarrow\quad s\,ds=\frac{1}{2}\,du.
Quando s=0 temos u=1; quando s=1 temos u=2. A integral fica
I_2=\int_{u=1}^{u=2}\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{u}\,du.
A primitiva de 1/u é \ln|u|, logo
I_2=\frac{1}{2}\left[\ln u\right]_{1}^{2}=\frac{1}{2}\bigl(\ln 2-\ln 1\bigr).
Como \ln 1=0, então
I_2=\frac{1}{2}\ln 2.

Passo 5

Juntando as duas componentes conforme o passo 2, a integral vetorial é
\int_{0}^{1}\left\langle\frac{1}{1+s^{2}},\frac{s}{1+s^{2}}\right\rangle ds =\left\langle I_1,I_2\right\rangle =\left\langle\frac{\pi}{4},\;\frac{1}{2}\ln 2\right\rangle.

Resposta

\left\langle\frac{\pi}{4},\;\frac{1}{2}\ln 2\right\rangle

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