Nos Exercícios 40-45, calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida do vetor função no intervalo de
a
:
Informações dadas:
- O integrando é o vetor
. - O intervalo de integração é
. - A pergunta é: qual é o vetor resultado dessa integral?
Passo 2
Primeiro conceito importante (fácil e essencial): a integral de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
, então
Isso vale porque a integral é linear e cada componente é uma função real comum. Logo, aqui precisamos calcular separadamente
e então montar
.
Passo 3
Calcular
.
A fórmula conhecida (e útil) é: a derivada de
é
. Portanto
é uma primitiva de
. Assim
Sabendo que
e
, obtemos
Passo 4
Calcular
.
Aqui é natural usar a substituição
. Então
Quando
temos
; quando
temos
. A integral fica
A primitiva de
é
, logo
Como
, então
Passo 5
Juntando as duas componentes conforme o passo 2, a integral vetorial é