Nos exercícios 41-44, utilize a definição limite de derivada parcial para calcular as derivadas parciais das funções nos pontos especificados.
f(x, y)=llsen(x^3+y^4)x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0), partial fpartial x e partial fpartial y em (0,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= dfracsinl(x^3+y^4r)x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[1em] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais em (0,0) usando a definição
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h, partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k
]

Passo 2

Vamos calcular partial f/partial x em (0,0). Para hneq0 temos
f(h,0)=sin(h^3+0)h^2+0=sin(h^3)h^2
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partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-0h =limhto0sin(h^3)/h^2h =limhto0sin(h^3)h^3
Como limuto0sin(u)/u=1 com u=h^3, concluímos
partial fpartial x(0,0)=1

Passo 3

Agora partial f/partial y em (0,0). Para kneq0 vale
f(0,k)=sin(0+k^4)0+k^2=sin(k^4)k^2,
então
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-0k =limkto0sin(k^4)/k^2k =limkto0sin(k^4)k^3
Escrevendo sin(k^4)/k^3=(sin(k^4)/k^4)cdot k e usando limkto0sin(k^4)/k^4=1, obtemos
partial fpartial y(0,0)=limkto0k=0

Resposta

partial fpartial x(0,0)=1 partial fpartial y(0,0)=0

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