Verifique, em cada um dos casos abaixo, se as bases E=\left\{\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right\} e F=\left\{\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right\} têm a mesma orientação: \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}} \\\ \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}} \\\ \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}}\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá duas bases ordenadas E=\{\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\}\) e \(F=\{\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}\}\) e pede para verificar se elas têm a mesma orientação. As relações fornecidas entre os vetores são:
\[\begin{cases} \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}},\\[4pt] \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}},\\[4pt] \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}}. \end{cases}
A pergunta concreta: as bases E\] e \(F têm a mesma orientação?]
Passo 2
Explicação do critério que vamos usar (muito importante para a prova).
Duas bases ordenadas em \mathbb{R}^{3} têm a mesma orientação se, e somente se, o determinante da matriz de passagem de uma base para a outra for positivo.
Aqui vamos formar a matriz A cujas colunas são as coordenadas dos vetores \overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}} em relação à base E. Ou seja, cada coluna contém os coeficientes da combinação linear desses vetores em termos de \overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}.
Se \det(A)>0, então E e F têm a mesma orientação; se \det(A)<0, têm orientações opostas. Se \det(A)=0, então \{\overrightarrow{f_i}\} não é base (não é linearmente independente).
Passo 3
Formar a matriz de passagem A a partir das expressões dadas. Peguei os coeficientes das expressões de \overrightarrow{f_{i}} na base E:
Observação didática rápida: \det(A)=4>0 significa duas coisas úteis para a prova: (i) os vetores \{\overrightarrow{f_i}\} são linearmente independentes (logo formam uma base) porque determinante não nulo; (ii) a transformação que envia coordenadas na base E para coordenadas na base F preserva a orientação, já que o determinante é positivo. O valor absoluto |\det(A)|=4 diz também que volumes (paralelepípedos) são escalados por fator 4 por essa mudança de base.]
Passo 5
Conclusão direta do raciocínio sobre orientação: como o determinante da matriz de passagem é positivo (4), as bases E e F têm a mesma orientação.
Resposta
Sim. As bases têm a mesma orientação, pois \det(A)=4>0.