Verifique, em cada um dos casos abaixo, se as bases E=\left\{\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right\} e F=\left\{\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right\} têm a mesma orientação:
\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}} \\\ \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}} \\\ \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas E=\{\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\}\) e \(F=\{\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}\}\) e pede para verificar se elas têm a mesma orientação. As relações fornecidas entre os vetores são: \[\begin{cases} \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}},\\[4pt] \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}},\\[4pt] \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}}. \end{cases}
A pergunta concreta: as bases E\] e \(F têm a mesma orientação?]

Passo 2

Explicação do critério que vamos usar (muito importante para a prova).
  • Duas bases ordenadas em \mathbb{R}^{3} têm a mesma orientação se, e somente se, o determinante da matriz de passagem de uma base para a outra for positivo.
  • Aqui vamos formar a matriz A cujas colunas são as coordenadas dos vetores \overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}} em relação à base E. Ou seja, cada coluna contém os coeficientes da combinação linear desses vetores em termos de \overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}.
  • Se \det(A)>0, então E e F têm a mesma orientação; se \det(A)<0, têm orientações opostas. Se \det(A)=0, então \{\overrightarrow{f_i}\} não é base (não é linearmente independente).

Passo 3

Formar a matriz de passagem A a partir das expressões dadas. Peguei os coeficientes das expressões de \overrightarrow{f_{i}} na base E:
  • \overrightarrow{f_{1}} = 1\cdot\overrightarrow{e_{1}} + 1\cdot\overrightarrow{e_{2}} + 1\cdot\overrightarrow{e_{3}} → coluna \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • \overrightarrow{f_{2}} = 1\cdot\overrightarrow{e_{1}} -1\cdot\overrightarrow{e_{2}} +1\cdot\overrightarrow{e_{3}} → coluna \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • \overrightarrow{f_{3}} = 1\cdot\overrightarrow{e_{1}} +1\cdot\overrightarrow{e_{2}} -1\cdot\overrightarrow{e_{3}} → coluna \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
Portanto
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular o determinante de A passo a passo. Vou expandir pela primeira linha (método de cofactores), mostrando cada menor:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Agora calcule cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} =(-1)(-1)-1\cdot1=1-1=0,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} =1\cdot(-1)-1\cdot1=-1-1=-2,
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1-(-1)\cdot1=1-(-1)=2.
Substituindo de volta:
\det(A)=1\cdot 0 - 1\cdot(-2) + 1\cdot 2 = 0 + 2 + 2 = 4.
Portanto \det(A)=4.
Observação didática rápida: \det(A)=4>0 significa duas coisas úteis para a prova: (i) os vetores \{\overrightarrow{f_i}\} são linearmente independentes (logo formam uma base) porque determinante não nulo; (ii) a transformação que envia coordenadas na base E para coordenadas na base F preserva a orientação, já que o determinante é positivo. O valor absoluto |\det(A)|=4 diz também que volumes (paralelepípedos) são escalados por fator 4 por essa mudança de base.]

Passo 5

Conclusão direta do raciocínio sobre orientação: como o determinante da matriz de passagem é positivo ( 4), as bases E e F têm a mesma orientação.

Resposta

Sim. As bases têm a mesma orientação, pois \det(A)=4>0.

Exercícios relacionados