Nos exercícios 48,54 assume-se que uma orientação de
está fixada.
Suponha que o conjunto ordenado
seja uma base positiva. Determine as relações entre os números reais
, para que o conjunto ordenado
seja uma base positiva.
Suponha que o conjunto ordenado
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Foi fixada uma orientação em
. - Sabe-se que o conjunto ordenado
é uma base positiva (ou seja, tem orientação positiva). - Precisamos determinar relacionamentos entre os números reais
para que o conjunto ordenado também seja uma base positiva.
Observações imediatas extraídas do enunciado:
- Os escalares
são números reais quaisquer. - Se algum desses escalares for zero, ao menos um dos vetores escalares será o vetor nulo e o conjunto não será uma base (pois não será linearmente independente). Portanto devemos cuidar desse caso.
Passo 2
Vou explicar o conceito que vamos usar: como determinar se uma base é positiva.
- Para vetores em
usa-se o produto misto (ou determinante formado pelas coordenadas dos vetores) para medir a orientação. - Definição: o produto misto de três vetores é
onde
é um número real. Aqui:
-
é o produto escalar, -
é o produto vetorial, -
é o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas, conforme convenção) são as coordenadas de . - Interpretação prática: a base
é positiva se, e somente se,
Isso significa que o sinal do produto misto determina a orientação (positivo = base positiva, negativo = base negativa).
Passo 3
Calcular o produto misto para os vetores escalados.
- Considere os vetores escalados
. Vamos calcular o produto misto
- Usando propriedades bilineares do determinante/produto misto (o determinante é linear em cada coluna), ao fatorar as constantes saindo das colunas obtemos:
- Aqui cada fator
sai multiplicando a sua respectiva coluna; a multiplicação das três constantes produz o fator .
Passo 4
Relacionar isso com a hipótese de que
é base positiva.
- Pelo enunciado,
é positiva, então
- Pelo resultado do passo anterior,
- Como
, o sinal de coincide com o sinal de . Portanto será uma base positiva exatamente quando
Passo 5
Tratar casos especiais e interpretar
.
- Se algum de
for zero, então e além disso o conjunto não será uma base (pois conterá o vetor nulo). Logo é obrigatório que . - A condição
já implica que nenhum dos escalares é zero, então a condição essencial e suficiente é . - Explicando de forma mais palpável: o produto de três números é positivo quando há um número par de fatores negativos. Assim,
ocorre exatamente quando: - todos os três são positivos (
), ou - dois são negativos e um é positivo (por exemplo
, ou qualquer permutação).
- todos os três são positivos (
- Exemplos rápidos:
-
dá → mantém orientação positiva. -
dá → mantém orientação positiva. -
dá → inverte a orientação (base negativa).
-
Passo 6
Resumo final e incentivo.
- Concluímos que o único requisito sobre
(além de não serem zero) para que seja base positiva é que o produto seja positivo. - Vai dar certo na prova: basta lembrar que escalares em colunas multiplicam o determinante e que a orientação depende do sinal do determinante. Respira, pratique uns exemplos e você acerta isso na hora.