Nos exercícios 48,54 assume-se que uma orientação de V^{3} está fixada.
Suponha que o conjunto ordenado \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} seja uma base positiva. Determine as relações entre os números reais a, b, c, para que o conjunto ordenado \{a \vec{u}, b \vec{v}, c \vec{w}\} seja uma base positiva.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi fixada uma orientação em V^3.
  • Sabe-se que o conjunto ordenado \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é uma base positiva (ou seja, tem orientação positiva).
  • Precisamos determinar relacionamentos entre os números reais a,b,c para que o conjunto ordenado \{a\vec{u},\,b\vec{v},\,c\vec{w}\} também seja uma base positiva.
Observações imediatas extraídas do enunciado:
  • Os escalares a,b,c são números reais quaisquer.
  • Se algum desses escalares for zero, ao menos um dos vetores escalares será o vetor nulo e o conjunto não será uma base (pois não será linearmente independente). Portanto devemos cuidar desse caso.

Passo 2

Vou explicar o conceito que vamos usar: como determinar se uma base é positiva.
  • Para vetores em V^3 usa-se o produto misto (ou determinante formado pelas coordenadas dos vetores) para medir a orientação.
  • Definição: o produto misto de três vetores é
[\vec{x},\vec{y},\vec{z}]=\vec{x}\cdot(\vec{y}\times\vec{z})=\det(\vec{x},\vec{y},\vec{z}),
onde [\vec{x},\vec{y},\vec{z}] é um número real. Aqui:
  • \vec{x}\cdot(\cdot) é o produto escalar,
  • \vec{y}\times\vec{z} é o produto vetorial,
  • \det(\vec{x},\vec{y},\vec{z}) é o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas, conforme convenção) são as coordenadas de \vec{x},\vec{y},\vec{z}.
  • Interpretação prática: a base \{\vec{x},\vec{y},\vec{z}\} é positiva se, e somente se,
[\vec{x},\vec{y},\vec{z}]>0.
Isso significa que o sinal do produto misto determina a orientação (positivo = base positiva, negativo = base negativa).

Passo 3

Calcular o produto misto para os vetores escalados.
  • Considere os vetores escalados a\vec{u},\,b\vec{v},\,c\vec{w}. Vamos calcular o produto misto
\bigl[\,a\vec{u},\,b\vec{v},\,c\vec{w}\,\bigr].
  • Usando propriedades bilineares do determinante/produto misto (o determinante é linear em cada coluna), ao fatorar as constantes saindo das colunas obtemos:
\bigl[\,a\vec{u},\,b\vec{v},\,c\vec{w}\,\bigr]=a\;b\;c\;[\vec{u},\vec{v},\vec{w}].
  • Aqui cada fator a,b,c sai multiplicando a sua respectiva coluna; a multiplicação das três constantes produz o fator abc.

Passo 4

Relacionar isso com a hipótese de que \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é base positiva.
  • Pelo enunciado, \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é positiva, então
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]>0.
  • Pelo resultado do passo anterior,
\bigl[\,a\vec{u},\,b\vec{v},\,c\vec{w}\,\bigr]=abc\;[\vec{u},\vec{v},\vec{w}].
  • Como [\vec{u},\vec{v},\vec{w}]>0, o sinal de \bigl[\,a\vec{u},\,b\vec{v},\,c\vec{w}\,\bigr] coincide com o sinal de abc. Portanto \{a\vec{u},b\vec{v},c\vec{w}\} será uma base positiva exatamente quando
abc>0.

Passo 5

Tratar casos especiais e interpretar abc>0.
  • Se algum de a,b,c for zero, então abc=0 e além disso o conjunto não será uma base (pois conterá o vetor nulo). Logo é obrigatório que a,b,c\neq0.
  • A condição abc>0 já implica que nenhum dos escalares é zero, então a condição essencial e suficiente é abc>0.
  • Explicando de forma mais palpável: o produto de três números é positivo quando há um número par de fatores negativos. Assim, abc>0 ocorre exatamente quando:
    • todos os três são positivos ( a>0,b>0,c>0), ou
    • dois são negativos e um é positivo (por exemplo a<0,b<0,c>0, ou qualquer permutação).
  • Exemplos rápidos:
    • a=2,b=3,c=1 abc=6>0 → mantém orientação positiva.
    • a=-1,b=-2,c=3 abc=6>0 → mantém orientação positiva.
    • a=-1,b=2,c=3 abc=-6<0 → inverte a orientação (base negativa).

Passo 6

Resumo final e incentivo.
  • Concluímos que o único requisito sobre a,b,c (além de não serem zero) para que \{a\vec{u},b\vec{v},c\vec{w}\} seja base positiva é que o produto seja positivo.
  • Vai dar certo na prova: basta lembrar que escalares em colunas multiplicam o determinante e que a orientação depende do sinal do determinante. Respira, pratique uns exemplos e você acerta isso na hora.

Resposta

abc>0

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