Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir).
\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
usando o método de Gauss-Jordan. A ideia é montar a matriz aumentada [A\mid I] e, por operações de linha, chegar em [I\mid A^{-1}].

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos o elemento abaixo do pivô a_{11}. Aplicamos
\mathrm{R}_2 \leftarrow \mathrm{R}_2 - \mathrm{R}_1, obtendo
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 4

Tornamos o pivô da segunda linha igual a 1, multiplicando
\mathrm{R}_2 \leftarrow -\,\mathrm{R}_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 5

Eliminamos os outros elementos na coluna 2.
  • Em \mathrm{R}_1: \mathrm{R}_1 \leftarrow \mathrm{R}_1 - \mathrm{R}_2.
  • Em \mathrm{R}_3: \mathrm{R}_3 \leftarrow \mathrm{R}_3 - \mathrm{R}_2.
    O que dá
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 6

Agora o pivô da terceira linha é 2. Normalizamos com
\mathrm{R}_3 \leftarrow \tfrac12\,\mathrm{R}_3:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12 \end{array}\right]

Passo 7

Finalmente, eliminamos os outros elementos na coluna 3.
  • Em \mathrm{R}_1: \mathrm{R}_1 \leftarrow \mathrm{R}_1 - \mathrm{R}_3.
  • Em \mathrm{R}_2: \mathrm{R}_2 \leftarrow \mathrm{R}_2 + \mathrm{R}_3.
    Fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12\\\\ 0 & 1 & 0 & \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12 \end{array}\right]

Resposta

A inversa da matriz é
A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \\\ \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\\\ -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.

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