Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir). \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] Passo 1O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} usando o método de Gauss-Jordan. A ideia é montar a matriz aumentada [A\mid I] e, por operações de linha, chegar em [I\mid A^{-1}]. Passo 2Primeiro, escrevemos a matriz aumentada [A\mid I]: \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] Passo 3Eliminamos o elemento abaixo do pivô a_{11}. Aplicamos \mathrm{R}_2 \leftarrow \mathrm{R}_2 - \mathrm{R}_1, obtendo \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] Passo 4Tornamos o pivô da segunda linha igual a 1, multiplicando \mathrm{R}_2 \leftarrow -\,\mathrm{R}_2: \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] Passo 5Eliminamos os outros elementos na coluna 2. Em \mathrm{R}_1: \mathrm{R}_1 \leftarrow \mathrm{R}_1 - \mathrm{R}_2. Em \mathrm{R}_3: \mathrm{R}_3 \leftarrow \mathrm{R}_3 - \mathrm{R}_2. O que dá \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right] Passo 6Agora o pivô da terceira linha é 2. Normalizamos com \mathrm{R}_3 \leftarrow \tfrac12\,\mathrm{R}_3: \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12 \end{array}\right] Passo 7Finalmente, eliminamos os outros elementos na coluna 3. Em \mathrm{R}_1: \mathrm{R}_1 \leftarrow \mathrm{R}_1 - \mathrm{R}_3. Em \mathrm{R}_2: \mathrm{R}_2 \leftarrow \mathrm{R}_2 + \mathrm{R}_3. Fica \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12\\\\ 0 & 1 & 0 & \tfrac12 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12 \end{array}\right] RespostaA inversa da matriz é A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \\\ \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\\\ -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosNos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir). \left[\begin{array}{rrr}2 & 3 & 0 \\\\ 1 & -2 & -1 \\\\ 2 & 0 & -1\end{array}\right] A matriz quadrada A é chamada idempotente se A^{2}=A. (A palavra idempotente vem do Latim idem, que significa “mesmo”, e potere, que significa “ter potência”. Assim algo que é idempotente tem a “mesma potência” quando elevado ao quadrado.) (a) Ache três matrizes 2 \times 2 idempotentes. (b) Prove que a única matriz n \times n idempotente invertível é a matriz identidade. Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir). \left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\ a & b & c & d\end{array}\right] Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir). \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] sobre \mathbb{Z}_{2}