Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir).
\left[\begin{array}{rrr}2 & 3 & 0 \\\\ 1 & -2 & -1 \\\\ 2 & 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0\\\\ 1 & -2 & -1\\\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}
Usaremos o método de Gauss–Jordan: montamos a matriz aumentada (A\mid I), fazemos operações elementares até reduzir A à identidade, e então a parte direita se torna A^{-1}.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 3

Pivot em (1,1): dividimos a primeira linha por 2 e zeramos as entradas abaixo na coluna 1:
R₁ := R₁÷2,
R₂ := R₂−R₁,
R₃ := R₃−2·R₁.
O resultado é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & \tfrac32 & 0 & \tfrac12 & 0 & 0\\\\ 0 & -\tfrac72 & -1 & -\tfrac12 & 1 & 0\\\\ 0 & -3 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 4

Pivot em (2,2): dividimos a segunda linha por -\tfrac72 e zeramos as entradas na coluna 2 das outras linhas:
R₂ := R₂÷(−7/2),
R₁ := R₁− \tfrac32·R₂,
R₃ := R₃+3·R₂.
Fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -\tfrac{3}{7} & \tfrac{2}{7} & \tfrac{3}{7} & 0\\\\ 0 & 1 & \tfrac{2}{7} & \tfrac{1}{7} & -\tfrac{2}{7}& 0\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{1}{7} & -\tfrac{4}{7}& -\tfrac{6}{7}& 1 \end{array}\right]

Passo 5

Pivot em (3,3): dividimos a terceira linha por -\tfrac{1}{7} (multiplicamos por -7) e zeramos as outras entradas na coluna 3:
R₃ := R₃÷(−1/7),
R₁ := R₁+\tfrac{3}{7}·R₃,
R₂ := R₂−\tfrac{2}{7}·R₃.
Obtemos
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2 & 3 & -3\\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -2 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 6 & -7 \end{array}\right]

Resposta

A inversa é a parte direita da matriz final:
A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -3\\\\ -1 & -2 & 2\\\\ 4 & 6 & -7 \end{pmatrix}.

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