Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir).
\left[\begin{array}{lll}1 & 5 & 0 \\\\ 1 & 2 & 4 \\\\ 3 & 6 & 1\end{array}\right] sobre \mathbb{Z}_{7}

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0\\\\ 1 & 2 & 4\\\\ 3 & 6 & 1 \end{pmatrix}
sobre \mathbb{Z}_{7}, usando o método de Gauss–Jordan. A ideia é montar a matriz aumentada [A\mid I] em \mathbb{Z}_{7} e aplicar operações elementares de linha (tudo calculado módulo 7) até obter [I\mid A^{-1}].

Passo 2

Montamos inicialmente
[A\mid I] \;=\; \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0\\\\ 3 & 6 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Queremos zerar as entradas abaixo de a_{11}=1. Em \mathbb{Z}_{7}:
  • R_2\leftarrow R_2 - R_1
    \bigl[1,2,4\bigr] - \bigl[1,5,0\bigr] = \bigl[0,-3,4\bigr]\equiv[0,4,4],
    e nos blocos da identidade [0,1,0]-[1,0,0]=[-1,1,0]\equiv[6,1,0].
  • R_3\leftarrow R_3 - 3\,R_1
    \bigl[3,6,1\bigr] - 3\cdot\bigl[1,5,0\bigr] = \bigl[0,6-15,1\bigr]\equiv[0,5,1],
    e [0,0,1]-3\cdot[1,0,0]=[-3,0,1]\equiv[4,0,1].
Após isso:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 5 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & 4 & 6 & 1 & 0\\\\ 0 & 5 & 1 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Agora o pivô em (2,2) é 4, cujo inverso em \mathbb{Z}_{7} é 2 (porque 4\cdot2\equiv1).
  • R_2\leftarrow 2\,R_2 torna
    [0,4,4]\to[0,1,1] e [6,1,0]\to[5,2,0].
    Em seguida, zeramos as outras entradas da coluna 2:
  • R_1\leftarrow R_1 - 5\,R_2 em que
    \bigl[1,5,0\bigr]-5\cdot[0,1,1]=[1,0,-5]\equiv[1,0,2]
    e [1,0,0]-5\cdot[5,2,0]=[4,4,0].
  • R_3\leftarrow R_3 - 5\,R_2 em que
    \bigl[0,5,1\bigr]-5\cdot[0,1,1]=[0,0,-4]\equiv[0,0,3]
    e [4,0,1]-5\cdot[5,2,0]=[0,4,1].
Fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 4 & 4 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 5 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 4 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

O pivô em (3,3) é 3, inverso de 3 em \mathbb{Z}_{7} é 5.
  • R_3\leftarrow 5\,R_3 faz
    [0,0,3]\to[0,0,1] e [0,4,1]\to[0,6,5].
    Por fim, zeramos a coluna 3 em cima:
  • R_1\leftarrow R_1 - 2\,R_3 produz [1,0,0] à esquerda e
    [4,4,0]-2\cdot[0,6,5]=[4,6,4] à direita.
  • R_2\leftarrow R_2 - R_3 produz [0,1,0] à esquerda e
    [5,2,0]-[0,6,5]=[5,3,2] à direita.
Chegamos a
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 4 & 6 & 4\\\\ 0 & 1 & 0 & 5 & 3 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 6 & 5 \end{array}\right],
logo [I\mid A^{-1}].

Resposta

A^{-1} \;=\; \begin{pmatrix} 4 & 6 & 4\\\\ 5 & 3 & 2\\\\ 0 & 6 & 5 \end{pmatrix} \quad\text{em }\mathbb{Z}_{7}.

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