Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir).
\left[\begin{array}{rr}-2 & 4 \\\\ 3 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}-2 & 4 \\[6pt] 3 & -1\end{pmatrix}
e pede A^{-1} pelo método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares até obter [I\mid A^{-1}].]

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cc|cc} -2 & 4 & 1 & 0 \\[4pt] 3 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]
Para ter pivô 1 na posição (1,1), multiplicamos a primeira linha por -\tfrac12:
R_{1}\gets -\tfrac12\,R_{1}
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & -2 & -\tfrac12 & 0 \\[4pt] 3 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 3

Eliminamos o elemento abaixo do pivô na coluna 1:
R_{2}\gets R_{2}-3\,R_{1}
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & -2 & -\tfrac12 & 0 \\[4pt] 0 & 5 & \tfrac32 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora fazemos o pivô na posição (2,2) igual a 1 e eliminamos acima:
  1. Escalamos a segunda linha: R_{2}\gets \tfrac15\,R_{2}
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & -2 & -\tfrac12 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{10} & \tfrac{1}{5} \end{array}\right]
  1. Eliminamos o -2 acima do pivô: R_{1}\gets R_{1}+2\,R_{2}
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & \tfrac{1}{10} & \tfrac{2}{5} \\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{3}{10} & \tfrac{1}{5} \end{array}\right]
Agora a parte esquerda é I e a direita é A^{-1}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{10} & \tfrac{2}{5} \\[6pt] \tfrac{3}{10} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix}.]

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