Nos Exercícios de 48 a 63, use o método de Gauss-Jordall para achar a inversa da matriz dada (se existir).
\left[\begin{array}{rr}1 & a \\\\ -a & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & a\\[6pt] -a & 1\end{pmatrix}
usando o método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares para chegar em [I\mid A^{-1}].]

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e usamos o pivô (1,1)=1 para eliminar o elemento abaixo na coluna 1.
[A\mid I] = \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & a & 1 & 0\\[3pt] -\,a & 1 & 0 & 1 \end{array}\right].
Fazemos R_{2}\leftarrow R_{2}+a\,R_{1}:
\begin{aligned} -\,a + a\cdot1 &= 0,\\\\ 1 + a\cdot a &= 1 + a^{2},\\\\ 0 + a\cdot1 &= a,\\\\ 1 + a\cdot0 &= 1. \end{aligned}
Logo a matriz fica
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & a & 1 & 0\\[3pt] 0 & 1+a^{2} & a & 1 \end{array}\right].]

Passo 3

Como 1+a^{2}\neq0 para todo a\in\mathbb{R}, há inversa. Normalizamos a segunda linha pelo pivô 1+a^{2}:
R_{2}\,\leftarrow\,\tfrac{1}{1+a^{2}}\,R_{2} \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & a & 1 & 0\\[3pt] 0 & 1 & \tfrac{a}{1+a^{2}} & \tfrac{1}{1+a^{2}} \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminamos o elemento acima na coluna 2 usando R_{1}\leftarrow R_{1}-a\,R_{2}:
\begin{aligned} 1 - a\cdot0 &= 1,\\\ a - a\cdot1 &= 0,\\\\ 1 - a\cdot\tfrac{a}{1+a^{2}} &= \frac{1+a^{2}-a^{2}}{1+a^{2}}=\frac{1}{1+a^{2}},\\\\ 0 - a\cdot\tfrac{1}{1+a^{2}} &= -\frac{a}{1+a^{2}}. \end{aligned}
Agora temos
\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & \tfrac{1}{1+a^{2}} & -\tfrac{a}{1+a^{2}}\\[3pt] 0 & 1 & \tfrac{a}{1+a^{2}} & \tfrac{1}{1+a^{2}} \end{array}\right].]

Passo 5

Já chegamos em [I\mid A^{-1}]. A inversa é a parte à direita da barra:
A^{-1} = \frac{1}{1+a^{2}} \begin{pmatrix} 1 & -\,a\\[4pt] a & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} = \frac{1}{1+a^{2}} \begin{pmatrix} 1 & -\,a\\[4pt] a & 1 \end{pmatrix}.]

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