Exercício 2. Identidique e escreva a cônica dada na forma padrão:
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: identificar a cônica e escrevê-la na forma padrão. A equação dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação pode ser escrita na forma geral
. - Comparando termos, os coeficientes são:
Passo 2
Primeiro vamos identificar o tipo de cônica. Uma forma prática é usar o discriminante
que classifica a cônica (sem termos mistos de rotação considerável quando
):
-
indica hipérbole; -
indica parábola; -
indica elipse (ou círculo se ).
Calculemos
com os coeficientes que pegamos:
Como
, a cônica é uma hipérbole. Outra observação simples e equivalente:
e
têm sinais opostos (
e
), o que também indica hipérbole.
Passo 3
Agora vamos transformar a equação em forma padrão. A estratégia é:
- agrupar termos em
e em ; - completar quadrados em cada grupo;
- isolar numa forma como
(ou a versão com o sinal trocado).
Começamos reescrevendo a equação agrupando por variáveis:
Passo 4
Fatoramos os coeficientes que multiplicam os quadrados para completar quadrados adequadamente:
Lembrete sobre completar quadrado: para qualquer expressão
vale
Aplicando isso a cada grupo:
- Para
: . - Para
: .
Substituindo na equação:
Passo 5
Agora expandimos os termos constantes que apareceram ao completar os quadrados:
Somando as constantes
:
Isolando os termos quadráticos no lado esquerdo:
Passo 6
Dividimos ambos os lados por
para obter o 1 do lado direito e escrever na forma padrão:
Simplificando as frações:
Reescrevendo numa ordem mais convencional (termo positivo primeiro):
Passo 7
Interpretação dos parâmetros (útil para a prova e para desenhar a hipérbole):
- Centro:
. - A forma é
, portanto
- Semieixos:
, . - Focos:
, logo . Focos em . - Vértices (ao longo do eixo transverso vertical):
. - Assíntotas: retas que passam pelo centro com coeficientes
, isto é
Resposta
Hipérbola