Exercício 2. Identidique e escreva a cônica dada na forma padrão:
5 y^{2}-6 x-3 x^{2}-10 y-13=0;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: identificar a cônica e escrevê-la na forma padrão. A equação dada é
5 y^{2}-6 x-3 x^{2}-10 y-13=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação pode ser escrita na forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.
  • Comparando termos, os coeficientes são:
A=-3,\qquad B=0,\qquad C=5,\qquad D=-6,\qquad E=-10,\qquad F=-13.

Passo 2

Primeiro vamos identificar o tipo de cônica. Uma forma prática é usar o discriminante
\Delta = B^{2}-4AC,
que classifica a cônica (sem termos mistos de rotação considerável quando B=0):
  • \Delta>0 indica hipérbole;
  • \Delta=0 indica parábola;
  • \Delta<0 indica elipse (ou círculo se A=C).
Calculemos \Delta com os coeficientes que pegamos:
\Delta = 0^{2}-4\cdot(-3)\cdot 5 = -4\cdot(-15)=60.
Como \Delta=60>0, a cônica é uma hipérbole. Outra observação simples e equivalente: A e C têm sinais opostos ( -3 e 5), o que também indica hipérbole.

Passo 3

Agora vamos transformar a equação em forma padrão. A estratégia é:
  1. agrupar termos em x e em y;
  2. completar quadrados em cada grupo;
  3. isolar numa forma como \dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1 (ou a versão com o sinal trocado).
Começamos reescrevendo a equação agrupando por variáveis:
-3x^{2}-6x+5y^{2}-10y-13=0.

Passo 4

Fatoramos os coeficientes que multiplicam os quadrados para completar quadrados adequadamente:
-3\bigl(x^{2}+2x\bigr)+5\bigl(y^{2}-2y\bigr)-13=0.
Lembrete sobre completar quadrado: para qualquer expressão t^{2}+bt vale
t^{2}+bt=\bigl(t+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}.
Aplicando isso a cada grupo:
  • Para x^{2}+2x: \;x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1.
  • Para y^{2}-2y: \;y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1.
Substituindo na equação:
-3\bigl((x+1)^{2}-1\bigr)+5\bigl((y-1)^{2}-1\bigr)-13=0.

Passo 5

Agora expandimos os termos constantes que apareceram ao completar os quadrados:
-3(x+1)^{2}+3+5(y-1)^{2}-5-13=0.
Somando as constantes 3-5-13:
-3(x+1)^{2}+5(y-1)^{2}-15=0.
Isolando os termos quadráticos no lado esquerdo:
-3(x+1)^{2}+5(y-1)^{2}=15.

Passo 6

Dividimos ambos os lados por 15 para obter o 1 do lado direito e escrever na forma padrão:
-\dfrac{3}{15}(x+1)^{2}+\dfrac{5}{15}(y-1)^{2}=1.
Simplificando as frações:
-\dfrac{1}{5}(x+1)^{2}+\dfrac{1}{3}(y-1)^{2}=1.
Reescrevendo numa ordem mais convencional (termo positivo primeiro):
\frac{(y-1)^{2}}{3}-\frac{(x+1)^{2}}{5}=1.

Passo 7

Interpretação dos parâmetros (útil para a prova e para desenhar a hipérbole):
  • Centro: (h,k)=(-1,\,1).
  • A forma é \dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1, portanto
a^{2}=3,\qquad b^{2}=5.
  • Semieixos: a=\sqrt{3}, b=\sqrt{5}.
  • Focos: c^{2}=a^{2}+b^{2}=3+5=8, logo c=2\sqrt{2}. Focos em (-1,\,1\pm 2\sqrt{2}).
  • Vértices (ao longo do eixo transverso vertical): (-1,\,1\pm\sqrt{3}).
  • Assíntotas: retas que passam pelo centro com coeficientes \pm \dfrac{a}{b}, isto é
y-1=\pm\sqrt{\tfrac{3}{5}}\,(x+1).

Resposta

Hipérbola
\frac{(y-1)^{2}}{3}-\frac{(x+1)^{2}}{5}=1

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