Nos Exercícios 51-54, use uma integral definida para determinar a área da região entre a curva dada e o eixo x no intervalo [0,1].
y=\pi x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva y=\pi x^{2} e o eixo x no intervalo [0,1]. O conteúdo aqui é cálculo de área sob a curva usando uma integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

A área A sob a curva de x=0 até x=1 é dada por
A = \int_{0}^{1} \pi x^{2}\,dx.

Passo 3

Como \pi é constante em relação a x, podemos fatorá-lo para fora da integral:
A = \pi \int_{0}^{1} x^{2}\,dx.

Passo 4

Para integrar x^{2}, usamos a regra de potência:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Aplicando nos limites de 0 a 1,
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}.

Passo 5

Substituindo de volta em A:
A = \pi \cdot \frac{1}{3} = \frac{\pi}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{\pi}{3}.

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