Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. As informações que temos são:
- A função é
. - Não foi dada nenhuma outra condição, então devo derivar essa expressão em termos de
.
O que será calculado: a derivada
explicando passo a passo cada regra usada e mostrando a conta completa.
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (vou explicar cada uma de forma concreta e simples):
- Regra do produto.
Se, então a derivada é
Aqui
e
são duas funções de
. A ideia é: derivar uma mantendo a outra, e somar o contrário.
- Regra da cadeia.
Se, ou seja, é uma função composta, então
Ou seja, deriva-se a função externa
em relação ao seu argumento e multiplica-se pela derivada do argumento
.
- Derivada da função inversa hiperbólica
.
A função(inversa da função cotangente hiperbólica) tem derivada
para valores de
onde a função está definida (explicarei domínio depois). Observação: essa fórmula pode ser deduzida a partir da expressão logarítmica da inversa hiperbólica, mas aqui vou usá-la diretamente e aplicá-la com a regra da cadeia.
Vou aplicar essas três ideias à nossa função, identificando
e
, e depois derivando passo a passo.
Passo 3
Identifico as duas funções do produto:
Agora calculo
e
separadamente.
- Derivada de
é simples:
- Para
uso a regra da cadeia. Primeiro vejo a função externa cuja derivada é . O argumento (função interna) é e sua derivada é .
Aplicando a regra da cadeia:
Como
, fica
Passo 4
Agora aplico a regra do produto
. Substituindo:
Simplifico o segundo termo:
. Assim
Passo 5
Faço algumas observações finais importantes (úteis na hora da prova):
-
Domínio: a função
é definida para . Como aqui , temos , ou seja . Portanto a expressão original e a derivada são válidas para tais que . É bom escrever isso na prova para justificar onde a derivada faz sentido. -
Alternativa de simplificação: se quiser deixar sob um denominador comum, pode combinar os termos, mas não é necessário a menos que o enunciado peça uma única fração. A forma obtida é clara e direta para leitura rápida na prova.
-
Verificação rápida por inspeção: quando
é grande, grande, o termo tende a um valor pequeno (pela forma da inversa hiperbólica) e o segundo termo domina; fazer verificações numéricas rápidas (por exemplo ) ajuda a checar se a expressão faz sentido.