Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
f(x)=x \arg \operatorname{cotgh} x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. As informações que temos são:
  • A função é f(x)=x\,\operatorname{arccotgh}\bigl(x^{2}\bigr).
  • Não foi dada nenhuma outra condição, então devo derivar essa expressão em termos de x.
O que será calculado: a derivada f'(x) explicando passo a passo cada regra usada e mostrando a conta completa.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (vou explicar cada uma de forma concreta e simples):
  1. Regra do produto.
    Se f(x)=u(x)\,v(x), então a derivada é
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u(x) e v(x) são duas funções de x. A ideia é: derivar uma mantendo a outra, e somar o contrário.
  1. Regra da cadeia.
    Se g(x)=h\bigl(w(x)\bigr), ou seja, g é uma função composta, então
g'(x)=h'\bigl(w(x)\bigr)\cdot w'(x).
Ou seja, deriva-se a função externa h em relação ao seu argumento e multiplica-se pela derivada do argumento w(x).
  1. Derivada da função inversa hiperbólica \operatorname{arccotgh}.
    A função \operatorname{arccotgh}(t) (inversa da função cotangente hiperbólica) tem derivada
\frac{d}{dt}\operatorname{arccotgh}(t)=\frac{1}{1-t^{2}},
para valores de t onde a função está definida (explicarei domínio depois). Observação: essa fórmula pode ser deduzida a partir da expressão logarítmica da inversa hiperbólica, mas aqui vou usá-la diretamente e aplicá-la com a regra da cadeia.
Vou aplicar essas três ideias à nossa função, identificando u e v, e depois derivando passo a passo.

Passo 3

Identifico as duas funções do produto:
u(x)=x,\qquad v(x)=\operatorname{arccotgh}\bigl(x^{2}\bigr).
Agora calculo u'(x) e v'(x) separadamente.
  • Derivada de u(x)=x é simples:
u'(x)=1.
  • Para v(x)=\operatorname{arccotgh}\bigl(x^{2}\bigr) uso a regra da cadeia. Primeiro vejo a função externa h(t)=\operatorname{arccotgh}(t) cuja derivada é h'(t)=\dfrac{1}{1-t^{2}}. O argumento (função interna) é w(x)=x^{2} e sua derivada é w'(x)=2x.
Aplicando a regra da cadeia:
v'(x)=h'\bigl(w(x)\bigr)\cdot w'(x) =\frac{1}{1-\bigl(w(x)\bigr)^{2}}\cdot w'(x) =\frac{1}{1-(x^{2})^{2}}\cdot(2x).
Como (x^{2})^{2}=x^{4}, fica
v'(x)=\frac{2x}{1-x^{4}}.

Passo 4

Agora aplico a regra do produto f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Substituindo:
f'(x)=1\cdot\operatorname{arccotgh}\bigl(x^{2}\bigr)+x\cdot\frac{2x}{1-x^{4}}.
Simplifico o segundo termo: x\cdot\frac{2x}{1-x^{4}}=\dfrac{2x^{2}}{1-x^{4}}. Assim
f'(x)=\operatorname{arccotgh}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{2x^{2}}{1-x^{4}}.

Passo 5

Faço algumas observações finais importantes (úteis na hora da prova):
  • Domínio: a função \operatorname{arccotgh}(t) é definida para |t|>1. Como aqui t=x^{2}, temos x^{2}>1, ou seja |x|>1. Portanto a expressão original e a derivada são válidas para x tais que |x|>1. É bom escrever isso na prova para justificar onde a derivada faz sentido.
  • Alternativa de simplificação: se quiser deixar sob um denominador comum, pode combinar os termos, mas não é necessário a menos que o enunciado peça uma única fração. A forma obtida é clara e direta para leitura rápida na prova.
  • Verificação rápida por inspeção: quando x é grande, x^{2} grande, o termo \operatorname{arccotgh}(x^{2}) tende a um valor pequeno (pela forma da inversa hiperbólica) e o segundo termo domina; fazer verificações numéricas rápidas (por exemplo x=2) ajuda a checar se a expressão faz sentido.

Resposta

f'(x)=\operatorname{arccotgh}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{2x^{2}}{1-x^{4}},\qquad |x|>1

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