Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função a derivar é
. - Não foi pedido método específico, então vamos usar regras básicas de diferenciação (regra da cadeia e derivada da função composta).
O que se pede: encontrar, a derivada de em termos de . Observação de domínio: (inverso de ) está definido para , então a expressão original só faz sentido quando (ou seja, ). Vou calcular a derivada simbólica, lembrando dessa restrição de domínio.
Passo 2
Vou reescrever a função para ficar claro o encadeamento:
Aqui
é a função interna (a ``parte que está dentro do quadrado’’) e
é a função externa aplicada a
.
Passo 3
Aplico a regra da cadeia de forma explícita. Regra da cadeia (explicada):
Se então
Se
Isto significa: derivar primeiro a função externa
em relação ao seu argumento e multiplicar pelo derivado da função interna
. No nosso caso:
Passo 4
Derivo a função externa
. Usando a regra do poder:
Substituindo
obtemos a contribuição da derivada externa:
Passo 5
Agora preciso de
. Vou calcular a derivada da função inversa hiperbólica
em relação a
e depois multiplicar por
com
(outra aplicação da regra da cadeia).
Primeiro, lembrando a derivada de
:
- Seja
. Então por definição . - Diferenciando ambos os lados em relação a
(tratando como função de ):
- Como
, temos (para a raiz é a não negativa). - Portanto
Observação: a forma equivalente
também é válida, pois
para
.
Passo 6
Agora aplico isso com
. Temos
. Pela regra da cadeia:
Simplificando o denominador:
logo
Também se quiser escrever em fatores:
Passo 7
Agora junto tudo usando a regra da cadeia que montamos nos passos anteriores:
Portanto uma forma simplificada da derivada é
Lembrete final sobre domínio: essa expressão vale para valores de
tais que
(ou seja,
), porque
exige
e o denominador
só é real para
.