Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
f(x)=\frac{1}{2}\left[\arg \operatorname{cosh} x^{2}\right]^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{1}{2}\big[\arg\operatorname{cosh} x^{2}\big]^{2}.
Informações dadas:
  • A função a derivar é f(x)=\dfrac{1}{2}\big(\arg\operatorname{cosh}(x^{2})\big)^{2}.
  • Não foi pedido método específico, então vamos usar regras básicas de diferenciação (regra da cadeia e derivada da função composta).
    O que se pede: encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x. Observação de domínio: \arg\operatorname{cosh}(u) (inverso de \operatorname{cosh}) está definido para u\ge 1, então a expressão original só faz sentido quando x^{2}\ge 1 (ou seja, |x|\ge 1). Vou calcular a derivada simbólica, lembrando dessa restrição de domínio.

Passo 2

Vou reescrever a função para ficar claro o encadeamento:
f(x)=\frac{1}{2}\big( g(x)\big)^{2}, \qquad\text{onde}\qquad g(x)=\arg\operatorname{cosh}\big(x^{2}\big).
Aqui g(x) é a função interna (a ``parte que está dentro do quadrado’’) e h(t)=\dfrac{1}{2}t^{2} é a função externa aplicada a t=g(x).

Passo 3

Aplico a regra da cadeia de forma explícita. Regra da cadeia (explicada):
Se f(x)=H(G(x)) então
f'(x)=H'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
Isto significa: derivar primeiro a função externa H em relação ao seu argumento e multiplicar pelo derivado da função interna G. No nosso caso:
H(t)=\frac{1}{2}t^{2},\qquad G(x)=g(x)=\arg\operatorname{cosh}(x^{2}).

Passo 4

Derivo a função externa H(t)=\dfrac{1}{2}t^{2}. Usando a regra do poder:
H'(t)=\frac{1}{2}\cdot 2t = t.
Substituindo t=G(x)=g(x) obtemos a contribuição da derivada externa:
H'\big(G(x)\big)=g(x)=\arg\operatorname{cosh}(x^{2}).

Passo 5

Agora preciso de G'(x)=\dfrac{d}{dx}\arg\operatorname{cosh}\big(x^{2}\big). Vou calcular a derivada da função inversa hiperbólica \arg\operatorname{cosh}(u) em relação a u e depois multiplicar por u'(x) com u(x)=x^{2} (outra aplicação da regra da cadeia).
Primeiro, lembrando a derivada de \arg\operatorname{cosh}(u):
  • Seja \,y=\arg\operatorname{cosh}(u). Então por definição \operatorname{cosh}(y)=u.
  • Diferenciando ambos os lados em relação a u (tratando y como função de u):
\operatorname{sinh}(y)\,\frac{dy}{du}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{du}=\frac{1}{\operatorname{sinh}(y)}.
  • Como \operatorname{cosh}^{2}(y)-\operatorname{sinh}^{2}(y)=1, temos \operatorname{sinh}(y)=\sqrt{\operatorname{cosh}^{2}(y)-1}=\sqrt{u^{2}-1} (para u\ge 1 a raiz é a não negativa).
  • Portanto
\frac{d}{du}\arg\operatorname{cosh}(u)=\frac{1}{\sqrt{u^{2}-1}}.
Observação: a forma equivalente \dfrac{1}{\sqrt{u-1}\,\sqrt{u+1}} também é válida, pois \sqrt{u^{2}-1}=\sqrt{(u-1)(u+1)} para u\ge1.

Passo 6

Agora aplico isso com u(x)=x^{2}. Temos u'(x)=\dfrac{d}{dx}x^{2}=2x. Pela regra da cadeia:
G'(x)=\frac{d}{dx}\arg\operatorname{cosh}\big(x^{2}\big) =\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)^{2}-1}} =\frac{2x}{\sqrt{(x^{2})^{2}-1}}.
Simplificando o denominador:
(x^{2})^{2}-1 = x^{4}-1,
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G'(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^{4}-1}}.
Também se quiser escrever em fatores:
G'(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}-1}\,\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 7

Agora junto tudo usando a regra da cadeia que montamos nos passos anteriores:
f'(x)=H'\big(G(x)\big)\cdot G'(x) =\arg\operatorname{cosh}\big(x^{2}\big)\cdot \frac{2x}{\sqrt{x^{4}-1}}.
Portanto uma forma simplificada da derivada é
f'(x)=\frac{2x\,\arg\operatorname{cosh}\big(x^{2}\big)}{\sqrt{x^{4}-1}}.
Lembrete final sobre domínio: essa expressão vale para valores de x tais que x^{2}\ge 1 (ou seja, |x|\ge 1), porque \arg\operatorname{cosh}(u) exige u\ge1 e o denominador \sqrt{x^{4}-1} só é real para |x|\ge 1.

Resposta

f'(x)=\frac{2x\,\arg\operatorname{cosh}\big(x^{2}\big)}{\sqrt{x^{4}-1}}

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