Rodrigues’s formula
Applying the binomial theorem to
, differentiating it
times term by term, and comparing the result with (11), show that
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar a fórmula de Rodrigues
Informações fornecidas / que vamos usar:
- Podemos aplicar o teorema binomial a
. - Podemos diferenciar termo a termo a soma resultante
vezes. - Depois de diferenciar, comparar o resultado com a expressão em série para
(aquela indicada como (11) no enunciado) dará a igualdade desejada.
Passo 2
Aplicar o teorema binomial a
. Pelo binômio,
Reescrevendo com
(índice mais conveniente para o passo de diferenciação),
Aqui foi usado que
e que ao trocar
por
obtemos o expoente
.
Passo 3
Agora vamos diferenciar
Aplicando isso a cada termo da soma com
, ou seja quando
(isto é,
). Para esses
,
Passo 4
Portanto a derivada
-ésima da soma é (somando apenas os termos não nulos)
Esta expressão é um polinômio de grau
com potências
, como se espera para os polinômios de Legendre.
Passo 5
Multiplicando por
(o fator prefatorial da fórmula de Rodrigues) obtemos
Agora simplificamos o coeficiente usando
:
Logo
Passo 6
A soma obtida no Passo 5 é precisamente a expansão conhecida para o polinômio de Legendre
(a expressão em série indicada como (11) no enunciado). Assim o polinômio definido por
tem exatamente os mesmos coeficientes da representação em série de
. Portanto a igualdade pedida está demonstrada: a expressão à direita é a forma de Rodrigues para
.