Rodrigues’s formula (13)^{2} Applying the binomial theorem to \left(x^{2}-1\right)^{n}, differentiating it n times term by term, and comparing the result with (11), show that
P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left[\left(x^{2}-1\right)^{n}\right] .

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar a fórmula de Rodrigues
P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left[\left(x^{2}-1\right)^{n}\right].
Informações fornecidas / que vamos usar:
  • Podemos aplicar o teorema binomial a \left(x^{2}-1\right)^{n}.
  • Podemos diferenciar termo a termo a soma resultante n vezes.
  • Depois de diferenciar, comparar o resultado com a expressão em série para P_{n}(x) (aquela indicada como (11) no enunciado) dará a igualdade desejada.

Passo 2

Aplicar o teorema binomial a \left(x^{2}-1\right)^{n}. Pelo binômio,
\left(x^{2}-1\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^{2})^{k}(-1)^{\,n-k}.
Reescrevendo com t=n-k (índice mais conveniente para o passo de diferenciação),
\left(x^{2}-1\right)^{n}=\sum_{t=0}^{n} \binom{n}{t} (-1)^{t} x^{2n-2t}.
Aqui foi usado que \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} e que ao trocar k por n-t obtemos o expoente 2(n-t)=2n-2t.

Passo 3

Agora vamos diferenciar n\) vezes termo a termo. Antes, lembrar a regra geral: se \(m\) é inteiro não negativo, então \[\frac{d^{n}}{dx^{n}} x^{m}=\begin{cases} \displaystyle \frac{m!}{(m-n)!} x^{m-n}, & m\ge n,\\[6pt] 0, & m<n. \end{cases}
Aplicando isso a cada termo da soma com m=2n-2t\], obtemos contribuição não nula somente quando \(2n-2t\ge n, ou seja quando n-2t\ge0 (isto é, t\le \lfloor n/2\rfloor). Para esses t,
\frac{d^{n}}{dx^{n}} x^{2n-2t}=\frac{(2n-2t)!}{(n-2t)!} x^{n-2t}.]

Passo 4

Portanto a derivada n-ésima da soma é (somando apenas os termos não nulos)
\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[\left(x^{2}-1\right)^{n}\right] =\sum_{t=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{t}(-1)^{t}\,\frac{(2n-2t)!}{(n-2t)!}\; x^{\,n-2t}.
Esta expressão é um polinômio de grau n com potências x^{n},x^{n-2},x^{n-4},\dots, como se espera para os polinômios de Legendre.

Passo 5

Multiplicando por 1/(2^{n}n!) (o fator prefatorial da fórmula de Rodrigues) obtemos
\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[\left(x^{2}-1\right)^{n}\right] =\sum_{t=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^{t}\,\frac{1}{2^{n}n!}\binom{n}{t}\frac{(2n-2t)!}{(n-2t)!}\; x^{\,n-2t}.
Agora simplificamos o coeficiente usando \binom{n}{t}=\dfrac{n!}{t!(n-t)!}:
\frac{1}{2^{n}n!}\binom{n}{t}\frac{(2n-2t)!}{(n-2t)!} =\frac{1}{2^{n}}\cdot\frac{1}{t!(n-t)!}\cdot\frac{(2n-2t)!}{(n-2t)!}.
Logo
\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[\left(x^{2}-1\right)^{n}\right] =\sum_{t=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^{t}\,\frac{(2n-2t)!}{2^{n}\,t!(n-t)!(n-2t)!}\; x^{\,n-2t}.

Passo 6

A soma obtida no Passo 5 é precisamente a expansão conhecida para o polinômio de Legendre P_{n}(x) (a expressão em série indicada como (11) no enunciado). Assim o polinômio definido por
P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left[\left(x^{2}-1\right)^{n}\right]
tem exatamente os mesmos coeficientes da representação em série de P_{n}(x). Portanto a igualdade pedida está demonstrada: a expressão à direita é a forma de Rodrigues para P_{n}(x).

Resposta

P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left[\left(x^{2}-1\right)^{n}\right].

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