Nos exercícios abaixo, calcule as integrais das funções dadas.
\int_{-5}^{5} 2 x \sqrt[3]{x^{2}+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-5}^{5} 2x\sqrt[3]{x^{2}+2}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é 2x\sqrt[3]{x^{2}+2}.
  • Os limites de integração são simétricos: de -5 a 5.

Passo 2

Conceito importante (vai ser a ferramenta principal):
\text{Uma função } f \text{ é par se } f(-x)=f(x)\quad\text{e ímpar se } f(-x)=-f(x).çãéí
Propriedade útil para integrais em intervalos simétricos:
\text{Se } f \text{ é ímpar e integrável, então } \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.éíáã
Explicação curta do porquê: a parte negativa do x contribui com área oposta à parte positiva, então se cancelam.

Passo 3

Verificar a paridade do integrando. Defina
f(x)=2x\sqrt[3]{x^{2}+2}.
Calcule f(-x):
f(-x)=2(-x)\sqrt[3]{(-x)^{2}+2}=-2x\sqrt[3]{x^{2}+2}=-f(x).
Logo f é uma função ímpar.

Passo 4

Aplicando a propriedade do Passo 2 para função ímpar em intervalo simétrico:
\int_{-5}^{5} 2x\sqrt[3]{x^{2}+2}\,dx = 0.
Interpretação: a área positiva para x>0 é exatamente cancelada pela área negativa simétrica para x<0.

Passo 5

(Método alternativo, para ver que dá o mesmo e para treinar substituição) Divida a integral em duas partes e faça a substituição u=x^{2}+2 em cada uma:
\int_{-5}^{5} 2x\sqrt[3]{x^{2}+2}\,dx = \int_{-5}^{0} 2x\,(x^{2}+2)^{1/3}\,dx + \int_{0}^{5} 2x\,(x^{2}+2)^{1/3}\,dx.
Em cada intervalo du=2x\,dx.
  • Para x\in[0,5]: u vai de 2 a 27 e a integral vira \displaystyle \int_{2}^{27} u^{1/3}\,du.
  • Para x\in[-5,0]: u vai de 27 a 2 e a integral vira \displaystyle \int_{27}^{2} u^{1/3}\,du = -\int_{2}^{27} u^{1/3}\,du.
    Somando as duas partes obtém-se 0. Observação: aqui foi preciso dividir em duas partes porque u=x^{2}+2 não é monotônica em todo [-5,5]; por isso a substituição direta com limites totais levaria a limites iguais e é enganosa se não for tratada com cuidado.

Passo 6

Resumo final e incentivo: a forma mais rápida e segura na prova é verificar a paridade do integrando. Quando vir um produto de x (ímpar) por função de x^{2} (par), espere uma função ímpar e resposta zero. Vai dar tudo certo — respira, confia no raciocínio e segue em frente!

Resposta

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