Nos exercícios abaixo, calcule as integrais das funções dadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são simétricos: de
a .
Passo 2
Conceito importante (vai ser a ferramenta principal):
Propriedade útil para integrais em intervalos simétricos:
Explicação curta do porquê: a parte negativa do
contribui com área oposta à parte positiva, então se cancelam.
Passo 3
Verificar a paridade do integrando. Defina
Calcule
:
Logo
é uma função ímpar.
Passo 4
Aplicando a propriedade do Passo 2 para função ímpar em intervalo simétrico:
Interpretação: a área positiva para
é exatamente cancelada pela área negativa simétrica para
.
Passo 5
(Método alternativo, para ver que dá o mesmo e para treinar substituição) Divida a integral em duas partes e faça a substituição
em cada uma:
Em cada intervalo
.
- Para
: vai de a e a integral vira . - Para
: vai de a e a integral vira .
Somando as duas partes obtém-se. Observação: aqui foi preciso dividir em duas partes porque não é monotônica em todo ; por isso a substituição direta com limites totais levaria a limites iguais e é enganosa se não for tratada com cuidado.
Passo 6
Resumo final e incentivo: a forma mais rápida e segura na prova é verificar a paridade do integrando. Quando vir um produto de
(ímpar) por função de
(par), espere uma função ímpar e resposta zero. Vai dar tudo certo — respira, confia no raciocínio e segue em frente!