Nos exercícios abaixo, calcule as integrais das funções dadas.
\int_{1}^{2} \frac{x d x}{\sqrt{5-x}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{x\,dx}{\sqrt{5-x}}.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{x}{\sqrt{5-x}}.
  • Os limites de integração são x=1 (inferior) e x=2 (superior).
  • Objetivo: encontrar o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Escolhemos fazer uma substituição para eliminar a raiz no denominador. Tome a substituição
u = 5 - x.
Agora calculemos as relações entre as variáveis:
  • Diferenciando, \,du = -dx, logo \,dx = -du.
  • Expressando x em função de u: x = 5 - u.
  • Alterando os limites: quando x=1 tem-se u=5-1=4; quando x=2 tem-se u=5-2=3.
Substituindo na integral original obtemos (mostrando passo a passo):
\int_{1}^{2} \frac{x\,dx}{\sqrt{5-x}} = \int_{u=4}^{u=3} \frac{5-u}{\sqrt{u}}\;(-du).
Trocando a ordem dos limites para eliminar o sinal menos,
\int_{u=4}^{u=3} \frac{5-u}{\sqrt{u}}\;(-du) = \int_{u=3}^{u=4} \frac{5-u}{\sqrt{u}}\;du.

Passo 3

Simplificamos a integranda escrevendo as potências:
\frac{5-u}{\sqrt{u}} = \frac{5}{\sqrt{u}} - \frac{u}{\sqrt{u}} = 5\,u^{-1/2} - u^{1/2}.
Portanto a integral fica
\int_{3}^{4} \bigl(5\,u^{-1/2} - u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Usamos a regra de potências para integrais: para n\neq -1 vale
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando termo a termo:
  • Para 5\,u^{-1/2}: a integral é 5\cdot\frac{u^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} = 5\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2} = 10\,u^{1/2}.
  • Para u^{1/2}: a integral é \frac{u^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.
Logo uma primitiva da integranda é
F(u) = 10\,u^{1/2} - \frac{2}{3}\,u^{3/2}.

Passo 5

Avalie a primitiva nos limites u=3 e u=4:
Primeiro para u=4:
F(4) = 10\sqrt{4} - \frac{2}{3}\,4^{3/2} = 10\cdot 2 - \frac{2}{3}\cdot 8 = 20 - \frac{16}{3} = \frac{44}{3}.
Agora para u=3:
F(3) = 10\sqrt{3} - \frac{2}{3}\,3^{3/2} = 10\sqrt{3} - \frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3} = 10\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}.
Subtraindo F(4)-F(3) obtemos o valor da integral:
\int_{1}^{2} \frac{x\,dx}{\sqrt{5-x}} = \frac{44}{3} - 8\sqrt{3}.

Resposta

\dfrac{44}{3} - 8\sqrt{3}

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