Nos exercícios abaixo, calcule as integrais das funções dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - Objetivo: encontrar o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Escolhemos fazer uma substituição para eliminar a raiz no denominador. Tome a substituição
Agora calculemos as relações entre as variáveis:
- Diferenciando,
, logo . - Expressando
em função de : . - Alterando os limites: quando
tem-se ; quando tem-se .
Substituindo na integral original obtemos (mostrando passo a passo):
Trocando a ordem dos limites para eliminar o sinal menos,
Passo 3
Simplificamos a integranda escrevendo as potências:
Portanto a integral fica
Passo 4
Usamos a regra de potências para integrais: para
vale
Aplicando termo a termo:
- Para
: a integral é - Para
: a integral é
Logo uma primitiva da integranda é
Passo 5
Avalie a primitiva nos limites
e
:
Primeiro para :
Primeiro para
Agora para
:
Subtraindo
obtemos o valor da integral: