Nos exercícios abaixo, calcule as integrais das funções dadas.
\int \sqrt[3]{7 x+3} d x;

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \sqrt[3]{7 x+3}\,dx.
Informações dadas (escritas de forma clara):
  • A função a integrar é a raiz cúbica de 7x+3, ou seja \sqrt[3]{7x+3}=(7x+3)^{1/3}.
  • Quer-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\sqrt[3]{7x+3}.
  • Lembrete: deve-se acrescentar a constante de integração C ao final.

Passo 2

Escolher uma substituição simples para eliminar a combinação linear dentro da raiz cúbica. Defina
u = 7x+3.
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = 7\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{7}.
Também note que
\sqrt[3]{7x+3} = u^{1/3}.
Substituindo na integral original:
\int \sqrt[3]{7x+3}\,dx = \int u^{1/3}\cdot\frac{du}{7} = \frac{1}{7}\int u^{1/3}\,du.

Passo 3

Usar a regra do poder para integrais. Fórmula geral (regra do poder):
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1.
Aqui n=\tfrac{1}{3}. Aplicando a fórmula:
\int u^{1/3}\,du = \frac{u^{1/3+1}}{1/3+1}+C = \frac{u^{4/3}}{4/3}+C = \frac{3}{4}u^{4/3}+C.
Lembrando do fator \tfrac{1}{7} que saiu da substituição, temos
\frac{1}{7}\int u^{1/3}\,du = \frac{1}{7}\cdot\frac{3}{4}u^{4/3}+C = \frac{3}{28}u^{4/3}+C.

Passo 4

Voltar à variável original x substituindo u=7x+3:
\int \sqrt[3]{7x+3}\,dx = \frac{3}{28}(7x+3)^{4/3}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação rápida por diferenciação (checagem da primitividade). Calcule a derivada de F(x)=\dfrac{3}{28}(7x+3)^{4/3} usando a regra da cadeia:
F'(x)=\frac{3}{28}\cdot \frac{4}{3}(7x+3)^{1/3}\cdot 7.
Simplificando os fatores:
\frac{3}{28}\cdot\frac{4}{3}\cdot 7 = \frac{4\cdot 7}{28} = \frac{28}{28}=1,
logo
F'(x)=(7x+3)^{1/3}=\sqrt[3]{7x+3},
que é exatamente o integrando. A primitiva está correta.

Passo 6

Dica prática para a prova: quando tiver uma potência (ax+b)^m com m\neq -1, a substituição u=ax+b é quase sempre a maneira mais rápida: ela transforma a integral em \int u^m \frac{du}{a}, e aí aplica-se a regra do poder. Exemplo rápido: \int \sqrt[3]{x}\,dx = \int x^{1/3}\,dx = \dfrac{3}{4}x^{4/3}+C.

Resposta

\dfrac{3}{28}(7x+3)^{4/3}+C

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