Nos exercícios abaixo, calcule as integrais das funções dadas.
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Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas (escritas de forma clara):
- A função a integrar é a raiz cúbica de
, ou seja . - Quer-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão
tal que . - Lembrete: deve-se acrescentar a constante de integração
ao final.
Passo 2
Escolher uma substituição simples para eliminar a combinação linear dentro da raiz cúbica. Defina
Diferenciando ambos os lados, obtemos
Também note que
Substituindo na integral original:
Passo 3
Usar a regra do poder para integrais. Fórmula geral (regra do poder):
Aqui
. Aplicando a fórmula:
Lembrando do fator
que saiu da substituição, temos
Passo 4
Voltar à variável original
substituindo
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação rápida por diferenciação (checagem da primitividade). Calcule a derivada de
usando a regra da cadeia:
Simplificando os fatores:
logo
que é exatamente o integrando. A primitiva está correta.
Passo 6
Dica prática para a prova: quando tiver uma potência
com
, a substituição
é quase sempre a maneira mais rápida: ela transforma a integral em
, e aí aplica-se a regra do poder. Exemplo rápido:
.