Nos exercícios abaixo, calcule os momentos de inércia
e
de uma lâmina
no plano
limitada por uma ou mais curvas descritas pelas equações dadas. Em cada caso,
denota a densidade num ponto
de
.
14.1)
.
14.1)
Passo 1
O exercício pede para calcular os momentos de inércia I_x e I_y de uma lâmina plana D de densidade variável f(x,y)=x+2y, delimitada pelas retas x=0, y=0 e y=2–x. O conteúdo é cálculo de integrais duplas aplicadas a momentos de inércia, precisaremos da definição de I_x e I_y e escolher uma ordem de integração adequada.
Passo 2
Para lâminas no plano xy, lembramos que o momento de inércia em relação ao eixo x é
e, em relação ao eixo y,
Aqui, D: 0≤x≤2 e 0≤y≤2–x.
Passo 3
Vamos montar I_x substituindo f(x,y)=x+2y e os limites de integração:
Expandindo dentro da integral interna: y2(x+2y)=x,y2+2y^3.
Passo 4
Agora calculamos a integral interna em y:
E então integramos em x de 0 a 2. Fazendo a substituição u=2–x, chega-se a
Passo 5
Para I_y, montamos a integral:
Integrando em y primeiro:
Agora em x de 0 a 2:
Passo 6
Concluímos que os momentos de inércia da lâmina são: I_x=56/15 e I_y=8/3.
Resposta
I_x=56/15\quad e\quad I_y=8/3