Nos exercícios abaixo, calcule os momentos de inércia Ix e Iy de uma lâmina D no plano x y limitada por uma ou mais curvas descritas pelas equações dadas. Em cada caso, f(x, y) denota a densidade num ponto (x, y) de D.
14.1) y=2-x, x=0 y=0 ; f(x, y)=x+2 y.

Passo 1

O exercício pede para calcular os momentos de inércia I_x e I_y de uma lâmina plana D de densidade variável f(x,y)=x+2y, delimitada pelas retas x=0, y=0 e y=2–x. O conteúdo é cálculo de integrais duplas aplicadas a momentos de inércia, precisaremos da definição de I_x e I_y e escolher uma ordem de integração adequada.

Passo 2

Para lâminas no plano xy, lembramos que o momento de inércia em relação ao eixo x é
Ix=integral duplaD y^2,f(x,y),dA
e, em relação ao eixo y,
Iy=integral duplaD x^2,f(x,y),dA
Aqui, D: 0≤x≤2 e 0≤y≤2–x.

Passo 3

Vamos montar I_x substituindo f(x,y)=x+2y e os limites de integração:
Ix=integralx=0^2integraly=0^2-xy^2l(x+2yr),dy,dx
Expandindo dentro da integral interna: y2(x+2y)=x,y2+2y^3.

Passo 4

Agora calculamos a integral interna em y:
integral0^2-xl(x,y^2+2y^3r)dy = x(2-x)^33+(2-x)^42
E então integramos em x de 0 a 2. Fazendo a substituição u=2–x, chega-se a
Ix=integral0^2l(tfrac23u^3+tfrac16u^4r)du =5615 .

Passo 5

Para I_y, montamos a integral:
Iy=integralx=0^2integraly=0^2-xx^2l(x+2yr)dy,dx =integral0^2integral0^2-xl(x^3+2x^2yr)dy,dx
Integrando em y primeiro:
integral0^2-x(x^3+2x^2y)dy = x^3(2-x)+x^2(2-x)^2 =2x^2(2-x)
Agora em x de 0 a 2:
Iy=integral0^22x^2(2-x)dx=integral0^2(4x^2-2x^3)dx=83 .

Passo 6

Concluímos que os momentos de inércia da lâmina são: I_x=56/15 e I_y=8/3.

Resposta

I_x=56/15\quad e\quad I_y=8/3

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