Nos exercícios abaixo, calcule os momentos de inércia Ix e Iy de uma lâmina D no plano x y limitada por uma ou mais curvas descritas pelas equações dadas. Em cada caso, f(x, y) denota a densidade num ponto (x, y) de D.
14.3) x^2+y^2=a^2 ; f(x, y)=k(x^2+y^2)^32.

Passo 1

O enunciado pede para calcular os momentos de inércia Ix e Iy de uma lâmina circular de raio a centrada na origem, com densidade f(x,y)=k(x^2+y^2)^3/2. Vamos usar os conceitos de momento de inércia em relação aos eixos e coordenadas polares.

Passo 2

O momento de inércia em relação ao eixo x é dado por Ix=integral duplaD y^2 f(x,y),dA. Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. Além disso f(r)=k r^3. Substituindo em Ix temos
Ix=integral0^2piintegral0^a(rsintheta)^2l(k r^3r),r,dr,dtheta = kintegral0^2pisin^2theta,dtheta integral0^ar^6,dr

Passo 3

Calculamos separadamente as integrais:
integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi,
integral0^ar^6,dr=a^77 Logo,
Ix = kcdotpicdota^77 = kpi a^77

Passo 4

Por simetria (troca x por y), o momento de inércia em relação ao eixo y é o mesmo: Iy=Ix.

Resposta

I_x = I_y = \frac{k,\pi,a^7}{7}

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