Nos exercícios abaixo, calcule os momentos de inércia
e
de uma lâmina
no plano
limitada por uma ou mais curvas descritas pelas equações dadas. Em cada caso,
denota a densidade num ponto
de
.
14.3)
.
14.3)
Passo 1
O enunciado pede para calcular os momentos de inércia
e
de uma lâmina circular de raio
centrada na origem, com densidade
. Vamos usar os conceitos de momento de inércia em relação aos eixos e coordenadas polares.
Passo 2
O momento de inércia em relação ao eixo
é dado por
. Em coordenadas polares
,
e
. Além disso
. Substituindo em
temos
Passo 3
Calculamos separadamente as integrais:
Passo 4
Por simetria (troca
por
), o momento de inércia em relação ao eixo
é o mesmo:
.
Resposta
I_x = I_y = \frac{k,\pi,a^7}{7}