Nos exercícios abaixo, complete o espaço em branco com \leq ou \geq.
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x d x \_\_\_\_ \int_{0}^{\overline{4}} \operatorname{sen} x d x ;

Passo 1

O enunciado pede que eu preencha o espaço em branco com \(\leq\) ou \(\geq\) na desigualdade
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \, dx \quad \_ \quad \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • Os dois integrandos são \cos x e \sin x.
  • O intervalo de integração é o mesmo para ambos: x\in[0,\tfrac{\pi}{4}].
  • Preciso decidir se a integral de \cos x é maior, menor ou igual à integral de \sin x nesse intervalo.

Passo 2

Comparar os integrandos ponto a ponto: considero a função
f(x)=\cos x-\sin x.
Vou estudar o sinal de f(x) em [0,\tfrac{\pi}{4}].
  • Calculo valores nas extremidades: f(0)=\cos 0-\sin 0=1-0=1,
f\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{\sqrt{2}}{2}=0.
  • Calculo a derivada para ver monotonicidade: f'(x)=-\sin x-\cos x=-(\sin x+\cos x).Para x\in[0,\tfrac{\pi}{4}] tem-se \sin x\ge0 e \cos x\ge0, logo \sin x+\cos x\ge0 e portanto f'(x)\le 0\quad\text{em}\\ [0,\tfrac{\pi}{4}].Ou seja, f é decrescente nesse intervalo.
Como f é decrescente, parte de f(0)=1 e chega em f(\tfrac{\pi}{4})=0, segue que para todo x\in[0,\tfrac{\pi}{4}]
f(x)\ge 0,
ou seja
\cos x \ge \sin x \qquad\text{para todo }x\in[0,\tfrac{\pi}{4}].
(Comentário curto: geometricamente, \cos começa em 1 e diminui até \tfrac{\sqrt2}{2}, enquanto \sin começa em 0 e aumenta até \tfrac{\sqrt2}{2}; eles se encontram em \tfrac{\pi}{4}.)

Passo 3

Usar a propriedade de monotonicidade da integral: se uma função g(x)\ge 0 em um intervalo, então \int g \ge 0. Da desigualdade ponto a ponto \cos x-\sin x \ge 0 em [0,\tfrac{\pi}{4}], segue integrando ambos os lados:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \big(\cos x - \sin x\big)\,dx \ge 0.
Pela linearidade da integral isso dá
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x\,dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x\,dx \ge 0,
ou seja
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x\,dx \ge \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x\,dx.

Passo 4

(Para fixar a intuição: calcular os dois valores explicitamente e ver que a desigualdade é, na verdade, estrita.)
  • Integral de \cos x: \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x\,dx = \left.\sin x\right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)-\sin 0 = \tfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Integral de \sin x: \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x\,dx = \left.-\cos x\right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+\cos 0 = 1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Comparando numericamente: \tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}7071 e 1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}2929, logo realmente
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x\,dx > \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x\,dx.

Resposta

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x\,dx \ge \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x\,dx

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