Nos exercícios abaixo, complete o espaço em branco com
ou
.
Passo 1
O enunciado pede que eu preencha o espaço em branco com
\(\leq\) ou \(\geq\) na desigualdadeInformações dadas e observações imediatas:
- Os dois integrandos são
e . - O intervalo de integração é o mesmo para ambos:
. - Preciso decidir se a integral de
é maior, menor ou igual à integral de nesse intervalo.
Passo 2
Comparar os integrandos ponto a ponto: considero a função
Vou estudar o sinal de
em
.
- Calculo valores nas extremidades:
- Calculo a derivada para ver monotonicidade:
Para tem-se e , logo e portanto Ou seja, é decrescente nesse intervalo.
Como
é decrescente, parte de
e chega em
, segue que para todo
ou seja
(Comentário curto: geometricamente,
começa em 1 e diminui até
, enquanto
começa em 0 e aumenta até
; eles se encontram em
.)
Passo 3
Usar a propriedade de monotonicidade da integral: se uma função
em um intervalo, então
. Da desigualdade ponto a ponto
em
, segue integrando ambos os lados:
Pela linearidade da integral isso dá
ou seja
Passo 4
(Para fixar a intuição: calcular os dois valores explicitamente e ver que a desigualdade é, na verdade, estrita.)
- Integral de
: - Integral de
:
Comparando numericamente:
e
, logo realmente