Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{-1}^{1}(x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1}(x+3)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a soma de duas funções: x e 3.
  • Os limites de integração são a=-1 e b=1.
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Estratégia e regras que vamos usar (explicação didática):
  • Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, ou seja,
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
Isto permite separar \int_{-1}^{1}(x+3)\,dx em \int_{-1}^{1}x\,dx + \int_{-1}^{1}3\,dx.
  • Antiderivadas básicas:
    • A antiderivada de x é \dfrac{x^{2}}{2}, porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)=x.
    • A antiderivada de uma constante c é c x, porque \dfrac{d}{dx}(c x)=c.
  • Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática): se F é uma antiderivada de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Vamos aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular a antiderivada do integrando. Separando e integrando termo a termo:
\int (x+3)\,dx = \int x\,dx + \int 3\,dx = \frac{x^{2}}{2} + 3x + C.
Então uma antiderivada conveniente é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}+3x.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e avaliar nos limites 1 e -1.
Calcular F(1):
F(1)=\frac{1^{2}}{2}+3\cdot 1=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}.
Calcular F(-1):
F(-1)=\frac{(-1)^{2}}{2}+3\cdot(-1)=\frac{1}{2}-3=-\frac{5}{2}.
Agora a integral:
\int_{-1}^{1}(x+3)\,dx = F(1)-F(-1)=\frac{7}{2}-\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{12}{2}=6.

Passo 5

Verificação rápida por outra ideia (intuição útil para prova): a função x é ímpar, logo \int_{-1}^{1}x\,dx=0. A função constante 3 \int_{-1}^{1}3\,dx=3\cdot(1-(-1))=3\cdot 2=6. Somando: 0+6=6. Confere com o cálculo anterior.

Resposta

6

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