Nos exercícios abaixo, complete o espaço em branco com \leq ou \geq.
\int_{-1}^{3}\left(2 x^{2}-4\right) d x \_\_\_\_ \int_{-1}^{3}\left(x^{2}-6\right) d x ;

Passo 1

O enunciado pede que eu complete com \leq ou \geq a seguinte comparação entre integrais definidas:
\int_{-1}^{3}\left(2 x^{2}-4\right) d x \quad \underline{\qquad} \quad \int_{-1}^{3}\left(x^{2}-6\right) d x.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é [-1,3].
  • As funções integrandas são f(x)=2x^{2}-4 e g(x)=x^{2}-6.
  • A tarefa é decidir se \int_{-1}^{3}f(x)\,dx é maior ou menor (ou igual) que \int_{-1}^{3}g(x)\,dx.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vou usar (explicado passo a passo, sem pular etapas):
  1. Linearidade da integral:
\int_a^b \big(af(x)+bg(x)\big)\,dx = a\int_a^b f(x)\,dx + b\int_a^b g(x)\,dx,
onde a,b são constantes. Isso significa que posso manipular somas e constantes dentro da integral como se fosse somar e multiplicar números.
  1. Propriedade de monotonicidade (teorema importante e simples):
    Se, para todo x em [a,b], vale f(x)\ge g(x), então
\int_a^b f(x)\,dx \ge \int_a^b g(x)\,dx.
Intuição rápida: se uma função está sempre acima da outra no intervalo, a “área algébrica” sob ela será maior ou igual.
  1. Outra forma prática: se eu considerar a diferença h(x)=f(x)-g(x) e mostrar que h(x)\ge0 para todo x\in[a,b], então
\int_a^b h(x)\,dx \ge 0 \quad\Rightarrow\quad \int_a^b f(x)\,dx \ge \int_a^b g(x)\,dx.

Passo 3

Aplicando a ideia da diferença das funções: defino
h(x)=\big(2x^{2}-4\big)-\big(x^{2}-6\big).
Agora calculo h(x) explicitamente:
h(x)=2x^{2}-4 - x^{2}+6 = x^{2}+2.
Observação sobre h(x): para todo x temos x^{2}\ge 0, então
h(x)=x^{2}+2 \ge 0+2 = 2 > 0.
Portanto, h(x)>0 para todo x real, em particular para todo x\in[-1,3]. Assim concluímos ponto a ponto que
2x^{2}-4 \ge x^{2}-6 \quad\text{para todo }x\in[-1,3].

Passo 4

Pelo teorema da monotonicidade (Passo 2) ou usando a integral da diferença, como h(x)\ge 0 em [-1,3] segue que
\int_{-1}^{3} h(x)\,dx \ge 0.
Mas pela linearidade,
\int_{-1}^{3} h(x)\,dx = \int_{-1}^{3}\big((2x^{2}-4)-(x^{2}-6)\big)\,dx = \int_{-1}^{3}\big(2x^{2}-4\big)\,dx - \int_{-1}^{3}\big(x^{2}-6\big)\,dx.
Logo
\int_{-1}^{3}\big(2x^{2}-4\big)\,dx - \int_{-1}^{3}\big(x^{2}-6\big)\,dx \ge 0,
que é equivalente a
\int_{-1}^{3}\big(2x^{2}-4\big)\,dx \ge \int_{-1}^{3}\big(x^{2}-6\big)\,dx.

Passo 5

Para reforçar (e para você ver os números concretos), calculo as duas integrais separadamente:
  1. Para \displaystyle \int_{-1}^{3}\big(2x^{2}-4\big)\,dx, a primitiva é \displaystyle \frac{2}{3}x^{3}-4x. Avaliando:
\left(\frac{2}{3}x^{3}-4x\right)\Big|_{-1}^{3} = \bigg(\frac{2}{3}\cdot 27 - 12\bigg) - \bigg(\frac{2}{3}\cdot(-1) -4(-1)\bigg) = (18-12) - \big(-\tfrac{2}{3}+4\big) = 6 - \big(\tfrac{10}{3}\big) = \tfrac{8}{3}.
  1. Para \displaystyle \int_{-1}^{3}\big(x^{2}-6\big)\,dx, a primitiva é \displaystyle \frac{1}{3}x^{3}-6x. Avaliando:
\left(\frac{1}{3}x^{3}-6x\right)\Big|_{-1}^{3} = \bigg(\frac{27}{3}-18\bigg) - \bigg(\frac{-1}{3}-6(-1)\bigg) = (-9) - \big(-\tfrac{1}{3}+6\big) = -9 - \tfrac{17}{3} = -\tfrac{44}{3}.
Comparando os valores:
\tfrac{8}{3} \ge -\tfrac{44}{3},
o que confirma numericamente a desigualdade encontrada pelo raciocínio anterior. A diferença é
\tfrac{8}{3} - \big(-\tfrac{44}{3}\big) = \tfrac{52}{3} > 0,
que coincide com \displaystyle \int_{-1}^{3}\big(x^{2}+2\big)\,dx.

Resposta

\displaystyle \int_{-1}^{3}\left(2 x^{2}-4\right) d x \geq \int_{-1}^{3}\left(x^{2}-6\right) d x

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