Calcule a integral indefinida.
integral x^3 d xraiz1-x^2

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida integral x^3raiz1-x^2,dx. O conteúdo principal aqui é integração por substituição (u-substituição), pois temos uma raiz raiz1-x^2 e o numerador envolve x^3. Vamos usar u=1-x^2.

Passo 2

Fazendo a substituição u=1-x^2, temos du=-2x,dx, logo x,dx=-tfrac12,du. Além disso, podemos escrever x^3,dx = x^2cdot x,dx. Mas x^2 = 1-u.
Reescrevendo a integral em termos de u:
integral x^3raiz1-x^2,dx = integral (1-u),(x,dx)raizu = integral (1-u),(-tfrac12,du)u^1/2 = -tfrac12 integral (1-u),u^-1/2,du
Expandindo o integrando e separando em duas parcelas:
-tfrac12 integral (u^-1/2 - u^1/2),du = -tfrac12l(integral u^-1/2,du - integral u^1/2,dur)
Integrando cada termo usando integral u^p,du = tfracu^p+1p+1:
integral u^-1/2,du = 2u^1/2,integral u^1/2,du = tfrac23u^3/2
Substituindo na expressão e simplificando:
-tfrac12l(2u^1/2 - tfrac23u^3/2r) + C = -u^1/2 + tfrac13u^3/2 + C
Voltando a x com u=1-x^2, obtemos a resposta final:
13(1-x^2)^3/2 - (1-x^2)^1/2 + C

Resposta

13(1-x^2)^3/2 - (1-x^2)^1/2 + C

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