Nos exercícios abaixo derive as funções dadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada da função $ f(x) = \left(3x^{3} + 2x^{2} -5x +10\right)^{8} $. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de derivação para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos trabalhar com a Regra da Cadeia. A função $ f(x) $ é composta por uma função externa e uma função interna:
- Função externa: $ \left( algo \right)^{8} $
- Função interna: $ g(x) = 3x^{3} + 2x^{2} -5x +10 $
Passo 3
A Regra da Cadeia nos diz que, se tivermos uma função $ f(x) = [g(x)]^{n} $, a derivada $ f’(x) $ será:
Ou seja, a gente multiplica o expoente pela função interna elevada a um a menos do expoente e depois multiplica pela derivada da função interna.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso:
- $ n = 8 $
- $ g(x) = 3x^{3} + 2x^{2} -5x +10 $
Então, primeiro vamos encontrar a derivada de $ g(x) $, que é $ g’(x) $.
Passo 5
Vamos derivar cada termo de $ g(x) $ separadamente:
Calculando cada derivada:
- $ \frac{d}{dx}(3x^{3}) = 9x^{2} $
- $ \frac{d}{dx}(2x^{2}) = 4x $
- $ \frac{d}{dx}(-5x) = -5 $
- $ \frac{d}{dx}(10) = 0 $
Então:
Passo 6
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia com os valores que encontramos:
Resposta
A derivada de $ f(x) $ é: