Nos exercícios abaixo derive as funções dadas:
f(x)=(3 x^3+2 x^2-5 x+10)^8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada da função $ f(x) = \left(3x^{3} + 2x^{2} -5x +10\right)^{8} $. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de derivação para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos trabalhar com a Regra da Cadeia. A função $ f(x) $ é composta por uma função externa e uma função interna:
  • Função externa: $ \left( algo \right)^{8} $
  • Função interna: $ g(x) = 3x^{3} + 2x^{2} -5x +10 $

Passo 3

A Regra da Cadeia nos diz que, se tivermos uma função $ f(x) = [g(x)]^{n} $, a derivada $ f’(x) $ será:
f(x) = [g(x)]^n
Ou seja, a gente multiplica o expoente pela função interna elevada a um a menos do expoente e depois multiplica pela derivada da função interna.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
  • $ n = 8 $
  • $ g(x) = 3x^{3} + 2x^{2} -5x +10 $
Então, primeiro vamos encontrar a derivada de $ g(x) $, que é $ g’(x) $.

Passo 5

Vamos derivar cada termo de $ g(x) $ separadamente:
g(x)
Calculando cada derivada:
  • $ \frac{d}{dx}(3x^{3}) = 9x^{2} $
  • $ \frac{d}{dx}(2x^{2}) = 4x $
  • $ \frac{d}{dx}(-5x) = -5 $
  • $ \frac{d}{dx}(10) = 0 $
Então:
g'(x) = ddx(3x^3) + ddx(2x^2) + ddx(-5x) + ddx(10)

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia com os valores que encontramos:
f'(x) = 8 cdot (3x^3 + 2x^2 -5x +10)^7 cdot (9x^2 + 4x -5)

Resposta

A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

Exercícios relacionados