Nos Exercícios abaixo, encontre e esboce o domínio para cada função.
f(x, y)=\ln (x y+x-y-1)

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x,y)=\ln\big(xy+x-y-1\big) e pede o domínio dela.
Informações relevantes dadas:
  • A função é a função logarítmica natural aplicada à expressão xy+x-y-1.
  • Para que f(x,y) esteja bem definida, a entrada do logaritmo precisa ser um número positivo.

Passo 2

Relembrando a propriedade básica que vou usar: a função natural logarítmica \ln(t) está definida somente para t>0. Portanto o domínio da função é o conjunto de pares (x,y) que satisfazem
xy+x-y-1>0.

Passo 3

Vamos manipular a expressão dentro do logaritmo para deixá-la mais simples. Observe que dá para fatorar:
xy+x-y-1 = (x-1)(y+1).
Para conferir, multiplicando (x-1)(y+1) obtemos x y + x - y -1, que é a expressão original.

Passo 4

Agora analisamos o sinal do produto (x-1)(y+1). Um produto de dois números é positivo quando os dois têm o mesmo sinal, isto é:
  • caso A: ambos positivos, ou
  • caso B: ambos negativos.
Traduzindo isso para x e y:
Caso A (ambos positivos):
x-1>0 \quad\text{e}\quad y+1>0
que equivale a
x>1 \quad\text{e}\quad y>-1.
Caso B (ambos negativos):
x-1<0 \quad\text{e}\quad y+1<0
que equivale a
x<1 \quad\text{e}\quad y<-1.
Note que os casos onde algum fator é zero (isto é, x=1 ou y=-1) não servem, porque então (x-1)(y+1)=0 e \ln(0) não está definido. Precisamos estritamente de >0.

Passo 5

Interpretação geométrica (como esboçar o domínio): no plano (x,y),
  • trace a reta vertical x=1 e a reta horizontal y=-1. Essas retas dividem o plano em quatro regiões relativas ao ponto (1,-1).
  • O domínio é a união de duas dessas regiões:
    • a região onde x>1 e y>-1 (a “região nordeste” em relação ao ponto (1,-1));
    • e a região onde x<1 e y<-1 (a “região sudoeste” em relação ao ponto (1,-1)).
  • As linhas x=1 e y=-1 não fazem parte do domínio (traçar essas linhas pontilhadas ou sem preencher).
Exemplos rápidos para checar:
  • Para (x,y)=(2,0): (x-1)(y+1)=(1)(1)=1>0, está no domínio.
  • Para (x,y)=(0,0): (x-1)(y+1)=(-1)(1)=-1<0, não está no domínio.
  • Para (x,y)=(1,5): (x-1)(y+1)=0, não está no domínio.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x>1,\; y>-1\}\\ \cup\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x<1,\; y<-1\}

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