Nos Exercícios abaixo, encontre e esboce o domínio para cada função.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede o domínio dela.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função é a função logarítmica natural aplicada à expressão
. - Para que
esteja bem definida, a entrada do logaritmo precisa ser um número positivo.
Passo 2
Relembrando a propriedade básica que vou usar: a função natural logarítmica
está definida somente para
. Portanto o domínio da função é o conjunto de pares
que satisfazem
Passo 3
Vamos manipular a expressão dentro do logaritmo para deixá-la mais simples. Observe que dá para fatorar:
Para conferir, multiplicando
obtemos
, que é a expressão original.
Passo 4
Agora analisamos o sinal do produto
. Um produto de dois números é positivo quando os dois têm o mesmo sinal, isto é:
- caso A: ambos positivos, ou
- caso B: ambos negativos.
Traduzindo isso para
e
:
Caso A (ambos positivos):
que equivale a
Caso B (ambos negativos):
que equivale a
Note que os casos onde algum fator é zero (isto é,
ou
) não servem, porque então
e
não está definido. Precisamos estritamente de
.
Passo 5
Interpretação geométrica (como esboçar o domínio): no plano
,
- trace a reta vertical
e a reta horizontal . Essas retas dividem o plano em quatro regiões relativas ao ponto . - O domínio é a união de duas dessas regiões:
- a região onde
e (a “região nordeste” em relação ao ponto ); - e a região onde
e (a “região sudoeste” em relação ao ponto ).
- a região onde
- As linhas
e não fazem parte do domínio (traçar essas linhas pontilhadas ou sem preencher).
Exemplos rápidos para checar:
- Para
: , está no domínio. - Para
: , não está no domínio. - Para
: , não está no domínio.