Nos Exercícios abaixo, encontre e esboce o domínio para cada função.
Passo 1
O enunciado pede que se encontre e esboce o domínio da função dada. A função fornecida é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - A tarefa: determinar o conjunto de todos os pontos
para os quais está definida (ou seja, o domínio) e indicar como esboçá-lo.
Passo 2
Entendendo onde a função pode falhar em estar definida. Regra básica: uma função que envolve uma fração só está definida quando o denominador é diferente de zero. Vamos analisar cada parte:
- A função
está definida para todo número real, então não há restrição vinda do numerador. Em símbolos: existe para todo . - A restrição vem do denominador: devemos exigir que
Portanto os pontos que fazem
devem ser excluídos do domínio.
Passo 3
Resolver a equação que dá os pontos proibidos. Colocando a igualdade:
Interpretação geométrica desta equação: é a equação de uma circunferência centrada na origem com raio
, pois
Então todos os pontos sobre a circunferência de raio
devem ser removidos do plano.
Passo 4
Escrever o domínio de forma clara e equivalente. Como a única restrição é evitar a circunferência
, o domínio é
Uma forma alternativa e útil para entendimento é separar em duas regiões:
isto é, a união do disco aberto de raio
(interior da circunferência) com a região externa ao disco (exterior da circunferência). Note que a própria circunferência
não pertence ao domínio.
Passo 5
Exemplos rápidos para fixar:
- O ponto
pertence ao domínio, pois e então
- O ponto
não pertence ao domínio, pois . - O ponto
pertence ao domínio, pois .
Passo 6
Como esboçar o domínio no papel (passo a passo prático):
- Desenhar dois eixos perpendiculares e marcar a origem
. - Desenhar uma circunferência centrada na origem com raio
. Uma boa ideia é marcar os pontos , , , e traçar a curva passando por eles. - Representar a circunferência como uma curva tracejada (ou contornada), para indicar que os pontos sobre ela estão excluídos.
- Indicar que tanto o interior da circunferência quanto o exterior pertencem ao domínio — por exemplo, sombrear levemente as duas regiões ou colocar um ponto de teste em cada região (um dentro e um fora) mostrando que esses pontos são válidos.
Dica: como a circunferência é fechada e o domínio é seu complemento, o domínio aparece como duas regiões abertas separadas pela circunferência.