Nos Exercícios abaixo, encontre e esboce o domínio para cada função.
f(x, y)=\frac{\sin (x y)}{x^{2}+y^{2}-25}

Passo 1

O enunciado pede que se encontre e esboce o domínio da função dada. A função fornecida é
f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{x^{2}+y^{2}-25}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão do numerador é \sin(xy).
  • A expressão do denominador é x^{2}+y^{2}-25.
  • A tarefa: determinar o conjunto de todos os pontos (x,y) para os quais f(x,y) está definida (ou seja, o domínio) e indicar como esboçá-lo.

Passo 2

Entendendo onde a função pode falhar em estar definida. Regra básica: uma função que envolve uma fração só está definida quando o denominador é diferente de zero. Vamos analisar cada parte:
  • A função \sin(\cdot) está definida para todo número real, então não há restrição vinda do numerador. Em símbolos: \sin(xy) existe para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • A restrição vem do denominador: devemos exigir que
x^{2}+y^{2}-25 \neq 0.
Portanto os pontos que fazem x^{2}+y^{2}-25=0 devem ser excluídos do domínio.

Passo 3

Resolver a equação que dá os pontos proibidos. Colocando a igualdade:
x^{2}+y^{2}-25=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=25.
Interpretação geométrica desta equação: é a equação de uma circunferência centrada na origem com raio 5, pois
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=5.
Então todos os pontos sobre a circunferência de raio 5 devem ser removidos do plano.

Passo 4

Escrever o domínio de forma clara e equivalente. Como a única restrição é evitar a circunferência x^{2}+y^{2}=25, o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\ne25\}.
Uma forma alternativa e útil para entendimento é separar em duas regiões:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}<25\}\\ \cup\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}>25\},
isto é, a união do disco aberto de raio 5 (interior da circunferência) com a região externa ao disco (exterior da circunferência). Note que a própria circunferência x^{2}+y^{2}=25 não pertence ao domínio.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar:
  • O ponto (0,0) pertence ao domínio, pois 0^{2}+0^{2}-25=-25\ne0 e então
f(0,0)=\frac{\sin(0)}{-25}=0.
  • O ponto (5,0) não pertence ao domínio, pois 5^{2}+0^{2}-25=0.
  • O ponto (6,0) pertence ao domínio, pois 6^{2}+0^{2}-25=11\ne0.

Passo 6

Como esboçar o domínio no papel (passo a passo prático):
  1. Desenhar dois eixos perpendiculares e marcar a origem (0,0).
  2. Desenhar uma circunferência centrada na origem com raio 5. Uma boa ideia é marcar os pontos (5,0), (0,5), (-5,0), (0,-5) e traçar a curva passando por eles.
  3. Representar a circunferência como uma curva tracejada (ou contornada), para indicar que os pontos sobre ela estão excluídos.
  4. Indicar que tanto o interior da circunferência quanto o exterior pertencem ao domínio — por exemplo, sombrear levemente as duas regiões ou colocar um ponto de teste em cada região (um dentro e um fora) mostrando que esses pontos são válidos.
    Dica: como a circunferência é fechada e o domínio é seu complemento, o domínio aparece como duas regiões abertas separadas pela circunferência.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\ne25\}

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