Nos Exercícios abaixo, encontre e esboce o domínio para cada função.
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}-4\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}-4\big) e pede duas coisas: encontrar o domínio (todos os pares (x,y) em que f está definida) e esboçar esse domínio. Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro do logaritmo é x^{2}+y^{2}-4.
  • Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Regra importante sobre o logaritmo natural: a função \ln(t) está definida somente para argumentos positivos. Ou seja, para uma expressão \ln(g(x,y)) ser válida, é preciso que
g(x,y)>0.
Aqui, g(x,y)=x^{2}+y^{2}-4. Então o primeiro passo é traduzir a condição de existência do logaritmo para uma desigualdade envolvendo x e y.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso obtemos a condição
x^{2}+y^{2}-4>0.
Isolando os termos,
x^{2}+y^{2}>4.
Esta é a desigualdade que determina onde f está definida. Vou explicar claramente como resolver e interpretar essa desigualdade geométrica no plano (x,y).

Passo 4

Interpretação geométrica da desigualdade x^{2}+y^{2}>4:
  • A equação x^{2}+y^{2}=4 descreve uma circunferência centrada na origem com raio 2.
  • A desigualdade x^{2}+y^{2}>4 significa todos os pontos cujo quadrado da distância à origem é maior que 4, ou seja, todos os pontos cuja distância à origem é maior que 2.
  • Portanto, geometricamente o conjunto é a região exterior à circunferência de raio 2, sem incluir a própria circunferência (pois a desigualdade é estrita).
Uma forma rápida de ver isso em coordenadas polares: escrevendo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, tem-se x^{2}+y^{2}=r^{2}. A condição vira
r^{2}>4 \quad\Rightarrow\quad r>2,
com r\ge 0 e \theta variando de 0 a 2\pi. Então é exatamente a região r>2.

Passo 5

Verificação por exemplos (útil para prova e para fixar a ideia):
  • O ponto (0,0): 0^{2}+0^{2}=0\not>4. Logo (0,0) não pertence ao domínio.
  • O ponto (2,0): 2^{2}+0^{2}=4 — igual a 4, não estritamente maior, então também não pertence (a fronteira está excluída).
  • O ponto (3,0): 3^{2}+0^{2}=9>4. Logo (3,0) pertence ao domínio.
  • O ponto (1,\sqrt{8}): 1^{2}+(\sqrt{8})^{2}=1+8=9>4. Pertence ao domínio.

Passo 6

Como esboçar o domínio num papel (passo a passo para a prova):
  1. Desenhe o plano cartesiano com eixos x e y.
  2. Trace uma circunferência centrada na origem de raio 2. Desenhe a linha da circunferência com traço pontilhado ou tracejada para indicar que a borda não está incluída.
  3. Sombreie (ou marque) a região fora dessa circunferência, isto é, tudo além do círculo de raio 2. Essa é uma região aberta e não limitada (vai até o infinito).
  4. Opcional: coloque uma etiqueta indicando que a fronteira x^{2}+y^{2}=4 não pertence ao domínio.

Passo 7

Observações finais e dica de prova:
  • O domínio é um conjunto aberto no sentido topológico (não contém sua fronteira).
  • Em geral, para funções com \ln é sempre a primeira pergunta: para quais (x,y) o argumento do ln é positivo? Resolva essa desigualdade e interprete geometricamente.
  • Para argumentos que são polinômios quadráticos como aqui, testar alguns pontos e usar coordenadas polares costuma acelerar a identificação do domínio.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>4\}

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