Nos Exercícios abaixo, encontre e esboce o domínio para cada função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: encontrar o domínio (todos os pares
em que
está definida) e esboçar esse domínio. Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro do logaritmo é
. - Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Regra importante sobre o logaritmo natural: a função
está definida somente para argumentos positivos. Ou seja, para uma expressão
ser válida, é preciso que
Aqui,
. Então o primeiro passo é traduzir a condição de existência do logaritmo para uma desigualdade envolvendo
e
.
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso obtemos a condição
Isolando os termos,
Esta é a desigualdade que determina onde
está definida. Vou explicar claramente como resolver e interpretar essa desigualdade geométrica no plano
.
Passo 4
Interpretação geométrica da desigualdade
:
- A equação
descreve uma circunferência centrada na origem com raio . - A desigualdade
significa todos os pontos cujo quadrado da distância à origem é maior que , ou seja, todos os pontos cuja distância à origem é maior que . - Portanto, geometricamente o conjunto é a região exterior à circunferência de raio
, sem incluir a própria circunferência (pois a desigualdade é estrita).
Uma forma rápida de ver isso em coordenadas polares: escrevendo
,
, tem-se
. A condição vira
com
e
variando de
a
. Então é exatamente a região
.
Passo 5
Verificação por exemplos (útil para prova e para fixar a ideia):
- O ponto
: . Logo não pertence ao domínio. - O ponto
: — igual a , não estritamente maior, então também não pertence (a fronteira está excluída). - O ponto
: . Logo pertence ao domínio. - O ponto
: . Pertence ao domínio.
Passo 6
Como esboçar o domínio num papel (passo a passo para a prova):
- Desenhe o plano cartesiano com eixos
e . - Trace uma circunferência centrada na origem de raio
. Desenhe a linha da circunferência com traço pontilhado ou tracejada para indicar que a borda não está incluída. - Sombreie (ou marque) a região fora dessa circunferência, isto é, tudo além do círculo de raio
. Essa é uma região aberta e não limitada (vai até o infinito). - Opcional: coloque uma etiqueta indicando que a fronteira
não pertence ao domínio.
Passo 7
Observações finais e dica de prova:
- O domínio é um conjunto aberto no sentido topológico (não contém sua fronteira).
- Em geral, para funções com
é sempre a primeira pergunta: para quais o argumento do ln é positivo? Resolva essa desigualdade e interprete geometricamente. - Para argumentos que são polinômios quadráticos como aqui, testar alguns pontos e usar coordenadas polares costuma acelerar a identificação do domínio.