Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente trabalhar com uma série de potências específica:
Vamos precisar entender sobre raio de convergência, que nos diz até onde a série converge, e domínio da função, que indica os valores de para os quais a função está definida. Além disso, vamos precisar derivar a série termo a termo para encontrar e repetir o processo para determinar seu raio de convergência e domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência da série dada. Para isso, usamos o teste da razão, que é uma técnica comum para determinar onde uma série de potências converge.
A série que temos é:
Aplicando o teste da razão, calculamos o limite:
Onde L = limn to infty | x^n+1(n+1)^2x^nn^2 | = limn to infty | x cdot n^2(n+1)^2 | = |x| cdot limn to infty ( nn+1 )^2 = |x| cdot 1 = |x| . Vamos substituir:
|x| < 1
Para que a série convirja, precisamos que :
Então, o raio de convergência é .
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio da função sumn=1^infty 1^nn^2 = sumn=1^infty 1n^2 definida pela série. O domínio são todos os valores de sumn=1^infty (-1)^nn^2 para os quais a série converge.
Já sabemos que a série converge quando boxed x in R , | , |x| <= 1 . Vamos verificar os pontos onde :
Para :
Essa é a série p, com , que é convergente.
Para :
Essa é uma série alternada com termos decrescentes e tendendo a zero, então também converge.
Portanto, o domínio de é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a série de potências que define a derivada ddx ( x^nn^2 ) = n x^n-1n^2 = x^n-1n . Para isso, vamos derivar a série termo a termo. A derivada de cada termo f'(x) = sumn=1^infty x^n-1n é:
f'(x) = sumn=0^infty x^nn+1
Então, a série da derivada é:
Podemos reescrever essa série mudando o índice de soma:
Passo 5
Vamos agora determinar o raio de convergência da série da derivada sumn=0^infty x^nn+1 . Novamente, usamos o teste da razão.
A série é:
L = limn to infty | x^n+1(n+1)+1x^nn+1 | = limn to infty | x cdot n+1n+2 | = |x| cdot 1 = |x|
Calculando o limite pelo teste da razão:
|x| < 1
Para convergir, :
Portanto, o raio de convergência da série de também é .
Passo 6
Finalmente, vamos determinar o domínio de sumn=0^infty 1^nn+1 = sumn=0^infty 1n+1 = sumn=1^infty 1n . Como o raio de convergência é 1, a série converge para sumn=0^infty (-1)^nn+1 . Vamos verificar os pontos boxed x in R , | , -1 <= x < 1 e :
Para :
Essa é a série harmônica, que é divergente.
Para :
Essa é uma série alternada onde os termos têm módulo decrescendo e tendem a zero, então converge.