Considere a função f(x, y)=e^(x^2+y^2)+cos (x y)+x^3-5 y^3+10. Calcule:
partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y)

Passo 1

A função dada é f(x,y)=e{(x2+y2)}+cos(xy)+x3-5y^3+10. O conteúdo aqui é derivadas parciais de funções de duas variáveis, onde cada derivada parcial trata uma variável como variável e a outra como constante. Vamos usar definição de derivada parcial e regra da cadeia.

Passo 2

Para o termo exponencial e{(x2+y^2)}, aplicamos a regra da cadeia. Derivando em relação a x, temos partialpartial xe^(x^2+y^2)=2x,e^(x^2+y^2). Em relação a y, é partialpartial ye^(x^2+y^2)=2y,e^(x^2+y^2).
Para o termo cos(xy), usamos a regra da cadeia e a derivada do produto interno xy. Assim, em relação a x: partialpartial xcos(xy)=-sin(xy)cdot y. Em relação a y: partialpartial ycos(xy)=-sin(xy)cdot x.

Passo 3

O termo polinomial x3-5y3 é direto. Em relação a x, partialpartial x(x^3-5y^3)=3x^2 (pois y é tratado como constante). Em relação a y, partialpartial y(x^3-5y^3)=-15y^2.
Agora somamos as contribuições para partial fpartial x: de e{(x2+y^2)} vem 2x e{(x2+y^2)}, de cos(xy) vem -y\sin(xy) e de x^3 vem 3x^2. Logo, partial fpartial x(x,y)=2x,e^(x^2+y^2)-ysin(xy)+3x^2.

Passo 4

Somando para partial fpartial y: de e{(x2+y^2)} vem 2y e{(x2+y^2)}, de cos(xy) vem -x\sin(xy) e de -5y^3 vem -15y^2. Logo, partial fpartial y(x,y)=2y,e^(x^2+y^2)-xsin(xy)-15y^2.

Resposta

partial fpartial x(x,y)=2x,e^(x^2+y^2)-ysin(xy)+3x^2 e partial fpartial y(x,y)=2y,e^(x^2+y^2)-xsin(xy)-15y^2.

Exercícios relacionados