Para os exercícios abaixo, é possível aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo? Se for possível, calcule a integral e se não for possível, explique qual o problema com a integral. Faça um esboço da função (integrando) com especial atenção no intervalo de integração.
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Passo 1
A integral é de uma função racional \ f(x)=\frac{7x-6}{x^2 - x - 6} no intervalo [–3,3]. Vamos usar conceitos do Teorema Fundamental do Cálculo (FTC) e de integrais impróprias para ver se podemos aplicá-lo.
Passo 2
Para aplicar o FTC a uma integral definida de f em [a,b], f precisa ser contínua em todo o intervalo. Primeiro fatoramos o denominador:
As raízes são x=3 e x=–2, logo há assíntotas verticais nesses pontos.
Passo 3
Como x=–2 está dentro de (–3,3) e x=3 é o limite superior, f não é contínua em [–3,3]. Portanto não podemos usar diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Temos uma integral imprópria com descontinuidades internas e na fronteira.
Passo 4
Para investigar a convergência, escrevemos f em frações parciais:
Uma primitiva seria
Mas ao quebrar a integral em limites nos bairros de x=–2 e x=3 e calcular,
ambos os limites logarítmicos divergem (\ln|x+2|→–∞ em x→–2 e \ln|x-3|→–∞ em x→3).
ambos os limites logarítmicos divergem (\ln|x+2|→–∞ em x→–2 e \ln|x-3|→–∞ em x→3).
Passo 5
Esboço de f(x) em [–3,3]:
- De x=–3 até x→–2⁻: f(–3)=–4.5 cai para –∞.
- De x→–2⁺ até x→3⁻: f sai de +∞, passa por f(0)=1, zera em x=6/7, e vai a –∞ em x→3⁻.
As assíntotas verticais em x=–2 e x=3 impedem a aplicação direta do FTC e fazem a integral divergir.
Resposta
Não é possível aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo porque f(x) não é contínua em [–3,3] (há assíntotas em x=–2 e x=3). A integral é imprópria e diverge.