2.4.3 Exercícios
- Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
a)
.
b)
.
c)
Resp:
.
d)
. Resp:
.
e)
.
f)
.
g)
Resp:
.
- Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
a)
.
Resp:
b)
.
Resp:
.
c)
e
.
Resp:
.
d)
.
Resp:
.
e)
.
Resp:
.
f)
.
Resp:
.
g)
.
Resp:
3. Ache a equação diferencial cuja solução geral é
.
Resp:
.
4. Ache a equação diferencial cuja solução geral é
.
Resp:
.
5. Considere o problema de valor inicial:
a) Ache a solução deste problema. Resp:
.
b) Determine onde a solução é zero. Resp:
.
c) Determine as coordenadas
do ponto de mínimo.
e
.
d) Mude a segunda condição inicial para
e ache a solução como uma função de
. A seguir, ache o valor crítico de
que separa a solução na sua parte positiva da parte que pode ser negativa. Resp:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3. Ache a equação diferencial cuja solução geral é
4. Ache a equação diferencial cuja solução geral é
5. Considere o problema de valor inicial:
b) Determine onde a solução é zero. Resp:
c) Determine as coordenadas
d) Mude a segunda condição inicial para
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
com etapas a–d: (a) achar a solução, (b) achar onde ela se anula, (c) coordenadas do mínimo, (d) refazer com
e achar o
crítico.
Passo 2
Formamos a equação característica associada:
Resolvendo,
raiz dupla. Logo a solução geral é
Passo 3
Aplicamos as condições iniciais para determinar
.
De vem
De
Para
calculamos
de modo que
Portanto,
Passo 4
Para achar onde
, resolvemos
Como
, basta
Passo 5
Para o ponto de mínimo, fazemos
. Da expressão de
temos
Então
Passo 6
Agora tomamos
. Mantendo
e
dá
. De
Logo, como função de
,
Passo 7
O valor crítico de
que faz com que a parte linear no parêntese deixe de mudar de sinal é
Resposta
a)
b)
c)
d) com valor crítico
.
b)
c)
d)