2.4.3 Exercícios

  1. Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
    a) y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0 . \quad \operatorname{Resp}: y=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-3 x}.
    b) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+10 y=0 . \quad \operatorname{Resp}: y=c_{1} e^{t} \cos 3 t+c_{2} e^{t} \operatorname{sen} 3 t.
    c) 6 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0 . \quad Resp: y=c_{1} e^{x / 2}+c_{2} e^{-x / 3}.
    d) y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=0. Resp: y=c_{1} e^{-3 x} \cos 2 x+c_{2} e^{-3 x} \operatorname{sen} 2 x.
    e) y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=0 . \quad \operatorname{Resp}: y=c_{1}+c_{2} e^{-5 x}.
    f) 2 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0 . \quad \operatorname{Resp}: y=c_{1} e^{-x / 2} \cos (x / 2)+c_{2} e^{-x / 2} \operatorname{sen}(x / 2).
    g) 4 y^{\prime \prime}+9 y=0 . \quad Resp: y=c_{1} \cos (3 x / 2)+c_{2} \operatorname{sen}(3 x / 2).
  2. Ache a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
    a) y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=1.
Resp: y=e^{t}
b) y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=2.
Resp: y=2 x e^{3 x}.
c) y^{\prime \prime}+y=0, \quad, y(\pi / 3)=2 e y^{\prime}(\pi / 3)=-4.
Resp: (1+2 \sqrt{3}) \cos x-(2-\sqrt{3}) \operatorname{sen} x.
d) y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0, y(0)=-2, y^{\prime}(0)=3.
Resp: y=-1-e^{-3 t}.
e) y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}-9 y=0, y(1)=1, y^{\prime}(1)=0.
Resp: y=\frac{1}{10} e^{-9(x-1)}+\frac{9}{10} e^{x-1}.
f) 9 y^{\prime \prime}-12 y^{\prime}+4 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1.
Resp: y=2 e^{2 x / 3}-\frac{7}{3} x e^{2 x / 3}.
g) y^{\prime \prime}+y^{\prime}+1.25 y=0, y(0)=3, y^{\prime}(0)=1.
Resp: y=3 e^{-x / 2} \cos x+\frac{5}{2} e^{-x / 2} \operatorname{sen} x
3. Ache a equação diferencial cuja solução geral é y(x)=c_{1} e^{2 t}+c_{2} e^{-3 t}.
Resp: y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=0.
4. Ache a equação diferencial cuja solução geral é y(x)=c_{1} e^{-t / 2}+c_{2} e^{-2 t}.
Resp: 2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+2 y=0.
5. Considere o problema de valor inicial:
4 y^{\prime \prime}+12 y^{\prime}+9 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=-4 .
a) Ache a solução deste problema. Resp: y=e^{-3 x / 2}-\frac{5}{2} x e^{-3 x / 2}.
b) Determine onde a solução é zero. Resp: x=2 / 5.
c) Determine as coordenadas \left(x_{0}, y_{0}\right) do ponto de mínimo. \operatorname{Resp}: x_{0}=16 / 15 e y_{0}= -\frac{5}{3} e^{-8 / 5}.
d) Mude a segunda condição inicial para y^{\prime}(0)=b e ache a solução como uma função de b. A seguir, ache o valor crítico de b que separa a solução na sua parte positiva da parte que pode ser negativa. Resp: y=e^{-3 x / 2}+(b+3 / 2) x e^{-3 x / 2}

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
4y''+12y'+9y=0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=-4
com etapas a–d: (a) achar a solução, (b) achar onde ela se anula, (c) coordenadas do mínimo, (d) refazer com y'(0)=b e achar o b crítico.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
4r^2+12r+9=0.
Resolvendo,
r=\frac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot4\cdot9}}{2\cdot4} =\frac{-12\pm0}{8}=-\tfrac32
raiz dupla. Logo a solução geral é
y(x)=(C_1+C_2x)e^{-\tfrac32x}.

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais para determinar C_1,C_2.
De y(0)=1 vem
C_1=1.
Para y'(x) calculamos
y'(x) =\bigl(C_2 -\tfrac32(C_1+C_2x)\bigr)e^{-\tfrac32x} =e^{-\tfrac32x}\bigl(C_2-\tfrac32C_1-\tfrac32C_2x\bigr),
de modo que
y'(0)=C_2-\tfrac32C_1=-4 \;\Longrightarrow\; C_2-\tfrac32=-4 \;\Longrightarrow\; C_2=-\tfrac52.
Portanto,
y(x)=\Bigl(1-\tfrac52x\Bigr)e^{-\tfrac32x}.

Passo 4

Para achar onde y(x)=0, resolvemos
\Bigl(1-\tfrac52x\Bigr)e^{-\tfrac32x}=0.
Como e^{-\tfrac32x}\neq0, basta
1-\tfrac52x=0 \;\Longrightarrow\; x=\tfrac{2}{5}.

Passo 5

Para o ponto de mínimo, fazemos y'(x_0)=0. Da expressão de y'(x) temos
C_2-\tfrac32C_1-\tfrac32C_2x_0=0 \;\Longrightarrow\; -\tfrac52-\tfrac32\cdot1-\tfrac32\bigl(-\tfrac52\bigr)x_0=0 \;\Longrightarrow\; -4+\tfrac{15}{4}x_0=0 \;\Longrightarrow\; x_0=\tfrac{16}{15}.
Então
y_0=y(x_0)=\Bigl(1-\tfrac52\cdot\tfrac{16}{15}\Bigr)e^{-\tfrac32\cdot\tfrac{16}{15}} =-\tfrac{5}{3}e^{-\tfrac{8}{5}}.

Passo 6

Agora tomamos y'(0)=b. Mantendo y(x)=(C_1+C_2x)e^{-\tfrac32x} e y(0)=1 C_1=1. De
y'(0)=C_2-\tfrac32C_1=b \;\Longrightarrow\; C_2=b+\tfrac32.
Logo, como função de b,
y(x)=\bigl(1+(b+\tfrac32)x\bigr)e^{-\tfrac32x}.

Passo 7

O valor crítico de b que faz com que a parte linear no parêntese deixe de mudar de sinal é
b+\tfrac32=0 \;\Longrightarrow\; b=-\tfrac32.

Resposta

a) \displaystyle y(x)=\bigl(1-\tfrac52x\bigr)e^{-\tfrac32x}.
b) x=\tfrac{2}{5}.
c) \displaystyle\bigl(x_0,y_0\bigr)=\bigl(\tfrac{16}{15},-\tfrac{5}{3}e^{-\tfrac{8}{5}}\bigr).
d) \displaystyle y(x)=\bigl(1+(b+\tfrac32)x\bigr)e^{-\tfrac32x}, com valor crítico b=-\tfrac32.

Exercícios relacionados