Calcule o Wronskiano dos seguintes pares de funções:
(a) e^{2 t}, \quad e^{-3 t / 2}. Resp: -\frac{7}{2} e^{t / 2}.
(b) \cos t, sen t. Resp: 1 .
(c) e^{-2 t}, t e^{-2 t} \cdot \operatorname{Resp}: e^{-4 t}.
(d) e^{t} \operatorname{sen} t, e^{t} \cos t. Resp: -e^{2 t}.
(e) \cos ^{2} \theta, \quad 1+\cos 2 \theta. Resp: 0 .
Verifique que y_{1}(t)=t^{2} e y_{2}(t)=t^{-1} são duas soluções da equação diferencial t^{2} y^{\prime \prime}-2 y=0 para t>0. Então mostre que y(t)=c_{1} t^{2}+c_{2} t^{-1} é também uma solução desta equação para quaisquer c_{1} e c_{2}.
Mostre que y(x)=c_{1} sen x+c_{2} \cos x é uma solução geral de y^{\prime \prime}+y=0 em algum intervalo . A seguir, ache a solução do PVI para o qual y(0)=2 e y^{\prime}(0)=3. Resp: y=3 \operatorname{sen} x+2 \cos x.
Verifique que y_{1}=1 e y_{2}=x^{1 / 2} são soluções de y y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=0, para x>0. Mostrar então que c_{1}+c_{2} x^{1 / 2} não é em geral solução desta equação. Por que não? Isso contradiz o teorema da existência e unicidade de soluções para equações lineares de segunda ordem? Resp: A equação não é linear.
Se o wronskiano W de f e g é 3 e^{4 x} e f(x)=e^{2 x}, ache g(x). Resp: 3 x e^{2 x}+c e^{2 x}.
Se o wronskiano W de f e g é x^{2} e^{x} e f(x)=x, ache g(x). Resp: x e^{x}+c x.
Se W(f, g) é o wronskiano de f e g e se u=2 f-g e v=f+2 g, ache o wronskiano W(u, v) de u e v em termos do wronkiano W(f, g) de f e g. Resp: 5 W(f, g).
Se W(f, g)=x \cos x-\operatorname{sen} x, e se u=f+3 g e v=f-g, ache o wronskiano W(u, v) de u e v. Resp: -4(x \cos x-\operatorname{sen} x).
Em cada uma das alíneas abaixo, verifique que as funções dadas y_{1} e y_{2} são soluções da equação diferencial. Elas formam um conjunto fundamental de soluções?
(a) y^{\prime \prime}+4 y=0, y_{1}(x)=\cos 2 x, y_{2}(x)=\operatorname{sen} 2 x. Resp: Sim.
(b) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0, y_{1}(x)=e^{x}, y_{2}(x)=x e^{x}. Resp: Sim.
(c) x^{2} y^{\prime \prime}-x(x+2) y^{\prime}+(x+2) y=0, \quad x>0, y_{1}(x)=x, y_{2}(x)=x e^{x}. Resp: Sim.
O wronkiano de duas funções é W(x)=x \operatorname{sen}^{2} x. As duas funções são linearmente dependentes ou independentes? Justifique.
Resp: São linearmente independentes porque o wronkiano não se anula em todo ponto.
11. Ache o wronskiano das duas soluções da equação diferencial dada sem resolvê-la.
(a) x^{2} y^{\prime \prime}-x(x+2) y^{\prime}+(x+2) y=0 . \operatorname{Resp}: c x^{2} e^{x}.
(b) x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-4\right) y=0. Resp: c / x
12. Mostre que se p(x) é diferenciável e p(x)>0, então o wronskiano de duas soluções de \left[p(x) y^{\prime}\right]^{\prime}+q(x) y=0 é W(x)=c / p(x), onde c é uma constante.
13. Se y_{1} e y_{2} são duas soluções linearmente independentes de x y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+x e^{x} y=0 e se W\left(y_{1}, y_{2}\right)(1)=2, ache o valor de W\left(y_{1}, y_{2}\right)(5). Resp: 2 / 25
14. Se y_{1} e y_{2} são duas soluções linearmente independentes de x^{2} y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+(3+x) y=0 e se W\left(y_{1}, y_{2}\right)(2)=3, ache o valor de W\left(y_{1}, y_{2}\right)(4). Resp: 3 \sqrt{e}.
Calcule o Wronskiano dos seguintes pares de funções:
(a) e^{2 t}, \quad e^{-3 t / 2}. Resp: -\frac{7}{2} e^{t / 2}.
(b) \cos t, sen t. Resp: 1 .
(c) e^{-2 t}, t e^{-2 t} \cdot \operatorname{Resp}: e^{-4 t}.
(d) e^{t} \operatorname{sen} t, e^{t} \cos t. Resp: -e^{2 t}.
(e) \cos ^{2} \theta, \quad 1+\cos 2 \theta. Resp: 0 .
Verifique que y_{1}(t)=t^{2} e y_{2}(t)=t^{-1} são duas soluções da equação diferencial t^{2} y^{\prime \prime}-2 y=0 para t>0. Então mostre que y(t)=c_{1} t^{2}+c_{2} t^{-1} é também uma solução desta equação para quaisquer c_{1} e c_{2}.
Mostre que y(x)=c_{1} sen x+c_{2} \cos x é uma solução geral de y^{\prime \prime}+y=0 em algum intervalo . A seguir, ache a solução do PVI para o qual y(0)=2 e y^{\prime}(0)=3. Resp: y=3 \operatorname{sen} x+2 \cos x.
Verifique que y_{1}=1 e y_{2}=x^{1 / 2} são soluções de y y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=0, para x>0. Mostrar então que c_{1}+c_{2} x^{1 / 2} não é em geral solução desta equação. Por que não? Isso contradiz o teorema da existência e unicidade de soluções para equações lineares de segunda ordem? Resp: A equação não é linear.
Se o wronskiano W de f e g é 3 e^{4 x} e f(x)=e^{2 x}, ache g(x). Resp: 3 x e^{2 x}+c e^{2 x}.
Se o wronskiano W de f e g é x^{2} e^{x} e f(x)=x, ache g(x). Resp: x e^{x}+c x.
Se W(f, g) é o wronskiano de f e g e se u=2 f-g e v=f+2 g, ache o wronskiano W(u, v) de u e v em termos do wronkiano W(f, g) de f e g. Resp: 5 W(f, g).
Se W(f, g)=x \cos x-\operatorname{sen} x, e se u=f+3 g e v=f-g, ache o wronskiano W(u, v) de u e v. Resp: -4(x \cos x-\operatorname{sen} x).
Em cada uma das alíneas abaixo, verifique que as funções dadas y_{1} e y_{2} são soluções da equação diferencial. Elas formam um conjunto fundamental de soluções?
(a) y^{\prime \prime}+4 y=0, y_{1}(x)=\cos 2 x, y_{2}(x)=\operatorname{sen} 2 x. Resp: Sim.
(b) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0, y_{1}(x)=e^{x}, y_{2}(x)=x e^{x}. Resp: Sim.
(c) x^{2} y^{\prime \prime}-x(x+2) y^{\prime}+(x+2) y=0, \quad x>0, y_{1}(x)=x, y_{2}(x)=x e^{x}. Resp: Sim.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o Wronskiano das pares de funções usando a definição