Nos exercícios de (5) a (8), aplique o Teste da Raíz para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva.
sumk=1^infty(1-1k)^k^2,

Passo 1

A série dada é sumk=1^inftyl(1-tfrac1kr)^k^2. O conteúdo é o Teste da Raiz, e vamos precisar calcular L=limsupktoinftyraiz[k]|ak|, onde ak=l(1-1kr)^k^2.

Passo 2

Começamos escrevendo a k-ésima raiz de ak:
raiz[k]ak=l(l(1-tfrac1kr)^k^2r)^1/k=(1-tfrac1k)^k^2/k=(1-tfrac1k)^k
Agora usamos o limite clássico da sequência (1-1/k)^k. Sabemos que
limktoinfty(1-tfrac1k)^k=tfrac1e

Passo 3

Logo L=limktoinftyraiz[k]ak=1/e. Como L=1/e<1, o Teste da Raiz garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo Teste da Raiz).

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