Determine a função F(t) tal que:
(a) F^prime(t)=-2 cos (t) e F(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A parada é encontrar a função $ F(t) $ sabendo que a derivada dela, $ F’(t) $, é igual a $ -2 \cos(t) $, e que $ F(0) = 1 $. Para isso, a gente vai precisar usar o conceito de integração, que é basicamente o inverso da derivada. Ou seja, se sabemos a derivada de uma função, podemos integrar para achar a função original, considerando também a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ F’(t) = -2 \cos(t) $. Para achar $ F(t) $, precisamos integrar essa expressão em relação a $ t $. A integração é representada por:
F'(t) = -2 cos(t)
Onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 3

Vamos integrar $ -2 \cos(t) $. Sabemos que a integral de $ \cos(t) $ em relação a $ t $ é $ \sin(t) $. Então:
-2 cos(t)
Portanto, a função $ F(t) $ fica:
cos(t)

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial $ F(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ t = 0 $ na função:
F(0) = 1
Como $ \sin(0) = 0 $, temos:
C

Resposta

A função procurada é:
F(t) = -2 sin(t) + 1

Exercícios relacionados