Exercícios de aula
À temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C} colocam-se em contato ar a pressão atmosférica que contém 14 \% (em volume) de acetileno \left(\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{2}\right) e água que contém acetileno diluído na proporção:
de 0,153 \cdot 10^{-3} \mathrm{~kg} por 1 kg de água. Determine: 1) para qual fase será transferido o acetileno; 2) a força motriz na entrada do processo de transferência de massa (em concentração molar relativa). A pressão atmosférica é de 765 mmHg e as concentrações de equilíbrio do acetileno nas fases gasosa e líquida seguem a Lei de Henry.
Dado constante de Henry: \mathrm{H}_{\mathrm{A}}=1,01.10^{6} \mathrm{mmHg} / fração molar

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C} (não precisaremos do valor numérico em K, pois Henry já está dado para essa temperatura).
    • Gás: ar que contém acetileno em 14\% (em volume). Isso corresponde à fração molar do acetileno na fase gasosa: y_{A,\text{bulk}}=0,14.
    • Líquido: água contendo acetileno na proporção de 0{,}153\cdot10^{-3} kg de \mathrm{C_2H_2} por 1 kg de água. Ou seja, massa de acetileno dissolvido m_A=0{,}153\cdot10^{-3}\\ \mathrm{kg}=0{,}000153\\ \mathrm{kg} por 1\\ \mathrm{kg} de água.
    • Pressão total: P=765\\ \mathrm{mmHg}.
    • Lei de Henry (fornecida): constante de Henry H_A = 1{,}01\cdot10^{6}\\ \mathrm{mmHg} por fração molar no líquido. A forma usada será \,p_A = H_A\,x_A\,, onde p_A é a pressão parcial do componente A (acetileno) e x_A é a sua fração molar na fase líquida.
    • Massas molares necessárias (valores usados nos cálculos):
      • \mathrm{M_{C_2H_2}} \approx 26{,}04\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} = 0{,}02604\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
      • \mathrm{M_{H_2O}} \approx 18{,}015\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} = 0{,}018015\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
  • O enunciado pede:
    1. Determinar para qual fase o acetileno será transferido (ou seja: do gás para o líquido, ou do líquido para o gás).
    2. Determinar a força motriz na entrada do processo de transferência de massa, expressa em concentração molar relativa (isto é, diferença de fração molar que atua como força motriz).
      Observação: para processos gás→líquido normalmente expressa-se a força motriz no lado gasoso como \Delta y = y_{A,\text{bulk}} - y_{A,i}, onde y_{A,i} é a fração molar do acetileno no gás em equilíbrio com a fase líquida atual; alternativamente pode-se usar \Delta x = x_{A}^* - x_{A,\text{bulk}} no lado líquido. Vou calcular explicitamente ambas as quantidades e indicar qual é usada para concluir a direção do transporte.

Passo 2

Explicação didática: Lei de Henry e como a usamos aqui.
  • A Lei de Henry na forma que vamos usar é
p_A = H_A\,x_A,
onde:
  • p_A é a pressão parcial do soluto (acetileno) na fase gasosa (unidade: mmHg);
  • H_A é a constante de Henry dada (unidade: mmHg por fração molar no líquido);
  • x_A é a fração molar do soluto na fase líquida.
  • Relação entre fração molar gasosa e pressão parcial:
p_A = y_A\,P,
onde y_A é a fração molar do acetileno na fase gasosa (aqui y_{A,\text{bulk}}=0{,}14) e P é a pressão total.
  • Procedimento para saber a direção do transporte: calcular a fração molar no líquido que estaria em equilíbrio com o gás dado:
x_A^*=\frac{p_A}{H_A}=\frac{y_{A,\text{bulk}}\,P}{H_A}.
Se a fração molar real no líquido x_{A,\text{real}} for:
  • menor que x_A^*: o líquido está sub-saturado → acetileno tende a passar do gás para o líquido (gás → líquido);
  • maior que x_A^*: o líquido está sobresaturado → acetileno tende a ir do líquido para o gás (líquido → gás).
Vamos calcular x_A^*.
  • Cálculo de p_A:
p_A = y_{A,\text{bulk}}\,P = 0{,}14\cdot 765 = 107{,}1\\ \mathrm{mmHg}.
  • Cálculo de x_A^*:
x_A^*=\frac{p_A}{H_A}=\frac{107{,}1}{1{,}01\cdot10^{6}} \approx 1{,}06\times10^{-4}.
Assim, se o líquido tivesse fração molar x_A igual a 1{,}06\times10^{-4}, estaria em equilíbrio com o gás onde y_A=0{,}14.

Passo 3

Converter a informação de massa do acetileno no líquido em fração molar x_{A,\text{real}} (passo a passo e didático).
  • Massa de acetileno dissolvido por 1\\ \mathrm{kg} de água:
m_A = 0{,}153\cdot10^{-3}\\ \mathrm{kg} = 0{,}000153\\ \mathrm{kg}.
  • Número de mols de acetileno presentes:
n_A=\frac{m_A}{\mathrm{M}_{A}}=\frac{0{,}000153}{0{,}02604}\\ \mathrm{mol}\approx 5{,}87\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}.
(Explanação rápida: divide-se a massa do soluto pela sua massa molar para obter mols.)
  • Número de mols de água em 1\\ \mathrm{kg}:
n_{\mathrm{H_2O}}=\frac{1{,}000}{0{,}018015}\\ \mathrm{mol}\approx 55{,}51\\ \mathrm{mol}.
  • Fração molar real do acetileno na solução (assumimos diluição suficiente para usar x_A = n_A/(n_A+n_{\mathrm{H_2O}})):
x_{A,\text{real}}=\frac{n_A}{n_A+n_{\mathrm{H_2O}}} =\frac{5{,}87\times10^{-3}}{5{,}87\times10^{-3}+55{,}51} \approx 1{,}06\times10^{-4}.
Cálculo numérico com mais casas: x_{A,\text{real}}\approx 1{,}058\times10^{-4}. Note que esse valor é muito próximo do x_A^* encontrado no Passo 2.

Passo 4

Comparação entre x_{A,\text{real}} e x_A^* para decidir a direção do transporte.
  • Valores obtidos:
    • x_A^* \approx 1{,}06\times10^{-4} (fração molar de equilíbrio que corresponderia ao gás com y_A=0{,}14).
    • x_{A,\text{real}} \approx 1{,}058\times10^{-4}.
  • Diferença:
x_A^* - x_{A,\text{real}} \approx 2{,}1\times10^{-7}>0.
Interpretação física: como x_{A,\text{real}} < x_A^* (a diferença é pequena, mas positiva para x_A^*-x_{A,\text{real}}), o líquido está ligeiramente sub-saturado em relação ao gás atual. Logo o acetileno tenderá a transferir-se do gás para o líquido (ou seja, o sentido líquido receptor: gás → líquido). Em palavras: o gás contém “um pouco mais” de acetileno do que o líquido pode manter na sua condição atual, então ocorrerá dissolução adicional.

Passo 5

Cálculo da força motriz em termos de fração molar (concentração molar relativa), explicando o que escolhi medir e por quê.
  • Existem duas formas equivalentes de escrever a força motriz:
    • No lado líquido: \Delta x = x_A^* - x_{A,\text{real}} (diferença entre fração molar de equilíbrio imposta pelo gás e a fração molar real do líquido).
    • No lado gasoso: \Delta y = y_{A,\text{bulk}} - y_{A,i}, onde y_{A,i} é a fração molar do acetileno no gás que estaria em equilíbrio com a composição líquida real x_{A,\text{real}}. Esta forma é prática quando o transporte é medido/controlado do lado gasoso.
Vou calcular ambas para clareza.
  • Cálculo de \Delta x (lado líquido):
\Delta x = x_A^* - x_{A,\text{real}} \approx 1{,}060\times10^{-4} - 1{,}058\times10^{-4} \approx 2{,}1\times10^{-7}.
(Isto é uma diferença muito pequena em fração molar absoluta do líquido.)
  • Cálculo de \Delta y (lado gasoso). Primeiro obtenho y_{A,i}: a pressão parcial correspondente à concentração líquida real é
p_{A,i}=H_A\,x_{A,\text{real}}.
Numericamente:
p_{A,i} \approx 1{,}01\cdot10^{6}\cdot(1{,}058\times10^{-4})\\ \mathrm{mmHg}\approx 106{,}9\\ \mathrm{mmHg}.
Então a fração molar de equilíbrio no gás correspondente é
y_{A,i}=\frac{p_{A,i}}{P}\approx\frac{106{,}9}{765}\approx 0{,}1397.
Logo a força motriz no lado gasoso é
\Delta y = y_{A,\text{bulk}} - y_{A,i} \approx 0{,}14 - 0{,}1397 \approx 2{,}4\times10^{-4}.
  • Interpretação: a força motriz em termos de fração molar gasosa é \Delta y\approx 2{,}4\times10^{-4}. Em termos de fração molar líquida absoluta é \Delta x\approx 2{,}1\times10^{-7}. Ambos são positivos (com o sinal adotado), confirmando transferência do gás para o líquido. Normalmente, para projetar um equipamento de transferência de massa, usa-se \Delta y quando se tem controle/média no gás, por isso destaquei esse valor.

Passo 6

Resumo final e encorajamento rápido.
  • Conclusão: o acetileno vai se dissolver no líquido (transferir-se do gás para a fase líquida).
  • A força motriz molar relativa (em fração molar) na entrada, expressa no lado gasoso, é aproximadamente \Delta y\approx 2{,}4\times10^{-4}. Em termos da diferença de fração molar no líquido a força motriz é \Delta x\approx 2{,}1\times10^{-7}. Ambas são pequenas, o que indica que o sistema está muito próximo do equilíbrio — cuidado prático: pequenas variações de condições podem inverter sinais se os números mudarem.

Resposta

  1. Transferido para a fase líquida (gás \to líquido).
  2. Força motriz (fração molar, lado gasoso): \Delta y \approx 2{,}4\times10^{-4}.

Exercícios relacionados