Questão 2 (4 pontos):Benzeno será extraído de uma corrente de 5 \mathrm{kmol} / \mathrm{h} de óleo de lavagem contendo 10 \% em mol de benzeno.Vapor de água(com 1 \% em mol de benzeno)será utilizado no processo até que a fração molar do benzeno na saída do equipamento seja 0,01 .O processo é realizado em uma coluna de pratos a 1 atm e 150^{\circ} \mathrm{C}
a)Calcule a vazão mínima de vapor de água.
b)Determine o número de estágios considerando a vazão de vapor de água igual a 1 \mathrm{kmol} / \mathrm{h}
OBS:Considere o sistema concentrado.
Dados:
-Equilibrio líquido-vapor,a 150^{\circ} \mathrm{C} e 1 \mathrm{~atm}: \mathrm{y}=5,814 \mathrm{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei todos do enunciado):
  • Pedido:
    (a) Calcular a vazão mínima de vapor de água.
    (b) Determinar o número de estágios quando a vazão de vapor é 1\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Dados:
    • Vazão de óleo (corrente líquida com benzeno): \,F=5\\ \mathrm{kmol/h}.
    • Fração molar de benzeno no óleo de alimentação: \,z_F=0{,}10.
    • Vapor de água usado entra com fração molar de benzeno \,y_S=0{,}01 (isto é 1\% em mol).
    • Objetivo: fração molar de benzeno no líquido de saída (raffinate) \,x_B=0{,}01.
    • Condições e equilíbrio: a 150^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm} a relação de equilíbrio é \,y=5{,}814\,x.
    • Observação prática usada na resolução: trataremos o líquido que desce na coluna como a corrente de óleo + benzeno e assumiremos fluxo líquido aproximadamente constante e igual a L\approx F (explico e justifico nos próximos passos).

Passo 2

Entendendo o fenômeno e as variáveis (aula rápida e didática)
  • O sistema é binário efetivo para o soluto benzeno: no vapor só tem água + benzene (benzene é volátil relativo ao óleo), e no líquido principal tem óleo + benzene (assume-se pouca água no líquido).
  • Equilíbrio líquido–vapor linear: a relação de equilíbrio dada é
    y = m x
    em que
    • \,y é a fração molar de benzeno na fase vapor,
    • \,x é a fração molar de benzeno na fase líquida,
    • \,m=5{,}814 é a constante de proporcionalidade (obtida do equilíbrio a 150^\circ\mathrm{C}).
  • Operação por pratos (estágios teóricos) com fluxo constante: para colunas de lavagem/stripping com fluxos aproximadamente constantes, a linha operacional (seção de arraste/stripping) relaciona y e x por uma reta do tipo
    y = \frac{L}{V}\,x + \underbrace{\bigl(y_S - \frac{L}{V}x_B\bigr)}_{=:b},
    onde
    • \,L é a vazão molar do líquido que desce (assumo \,L\approx F quando não há condensação significativa do vapor no líquido),
    • \,V é a vazão molar do vapor que sobe (o que queremos determinar),
    • \,y_S é a composição do vapor que entra na base (dado),
    • \,x_B é a composição do líquido na saída na base (dado).
  • Interpretação: essa reta é a linha operacional da seção de stripping; ela passa pelo ponto (x_B,y_S) por construção (se x=x_B então y=y_S).

Passo 3

Justificando a hipótese L=F
  • A corrente líquida que desce é basicamente o óleo + benzeno (admitimos que não haja transferência molar significativa de água para o líquido, ou seja, o vapor não condensa em quantidade que altere muito o balanço total de mols do líquido). Assim, para propósitos de cálculo de número de estágios e vazões, usamos L = F = 5\\ \mathrm{kmol/h}.
  • Esta é uma suposição clássica em problemas de steam stripping quando a água é praticamente não condensada no líquido de óleo.

Passo 4

Cálculo da vazão mínima de vapor — ideia e fórmula (a parte teórica importante)
  • Intuição: o mínimo de vapor necessário para atingir a especificação com número de estágios tendendo ao infinito é obtido quando a linha operacional, que passa por (x_B,y_S), também passa pelo ponto de equilíbrio no topo correspondente à alimentação líquida. Em termos práticos, para número de estágios muito grande, a linha operacional deve atravessar o ponto \bigl(x_F,y^*_F\bigr), em que y^*_F é a composição de vapor em equilíbrio com a alimentação líquida x_F.
  • Então, impondo que a linha operacional passe por \bigl(x_F,y^*_F\bigr), o declive (slope) da linha operacional é: \frac{L}{V_{\min}} = \frac{y^*_F - y_S}{x_F - x_B}.Aqui \,y^*_F é dado pelo equilíbrio na alimentação: y^*_F = m x_F.
  • Resumindo a fórmula prática que vamos usar: V_{\min} = \frac{L}{\dfrac{y^*_F - y_S}{x_F - x_B}} = L\,\frac{x_F - x_B}{y^*_F - y_S}.Essa expressão vem diretamente de forçar a linha operacional a passar por (x_F,y^*_F) e por (x_B,y_S).

Passo 5

Aplicando a fórmula e calculando numericamente V_{\min} (passo-a-passo aritmético)
  • Primeiro calcule y^*_F: y^*_F = m x_F = 5{,}814 \times 0{,}10 = 0{,}5814.
  • Calcule as diferenças: x_F - x_B = 0{,}10 - 0{,}01 = 0{,}09,
y^*_F - y_S = 0{,}5814 - 0{,}01 = 0{,}5714.
  • Agora a vazão mínima:
    V_{\min} = L\,\frac{x_F - x_B}{y^*_F - y_S} = 5\cdot\frac{0{,}09}{0{,}5714}.
    Calculando:
    \frac{0{,}09}{0{,}5714}\approx 0{,}015976\quad(\text{observação: cuidado com casas decimais}),çã
    então
    V_{\min}\approx 5\times 0{,}015976 \approx 0{,}07988\\ \mathrm{kmol/h}.
    (Atenção: revisei a conta e percebi que houve erro de escala — vamos refazer com atenção numérica correta abaixo.)
  • Recalcule com precisão:
    \frac{0{,}09}{0{,}5714}=0{,}15766\ldots
    então
    V_{\min}=5\times 0{,}15766\ldots = 0{,}7883\\ \mathrm{kmol/h}.
    Portanto, o valor correto é
    V_{\min}\approx 0{,}788\\ \mathrm{kmol/h}.
(Resumo: o resultado numérico final é \,V_{\min}\approx 0{,}788\\ \mathrm{kmol/h}.)

Passo 6

Interpretação do resultado de (a) e consequência para (b)
  • Conclusão importante: se a vazão de vapor \,V for menor do que \,V_{\min} então NÃO é possível atingir \,x_B=0{,}01 mesmo com número infinito de estágios. Se \,V>V_{\min}, a separação é possível com um número finito de estágios.
  • No item (b) a vazão dada é \,V=1\\ \mathrm{kmol/h}. Comparando: 1\\ \mathrm{kmol/h} > V_{\min}\approx 0{,}788\\ \mathrm{kmol/h},portanto a especificação é alcançável e podemos calcular um número finito de estágios.

Passo 7

Como contar o número de estágios (método McCabe–Thiele numérico, passo-a-passo)
  • Usamos a forma prática de iteração para uma coluna de stripping (contato contracorrente, estágios discretos): sabendo a linha operacional y = \frac{L}{V}x + \Bigl(y_S - \frac{L}{V}x_B\Bigr),e o equilíbrio y=m x, podemos iterar estágio a estágio começando da parte superior (alimentação líquida) e descer até a composição de base x_B.
  • Procedimento numérico prático (cada etapa corresponde a um estágio teórico):
    1. Partir de x_0=x_F.
    2. Calcular y_{\text{op}} = \dfrac{L}{V}x_0 + \bigl(y_S - \dfrac{L}{V}x_B\bigr) — é o valor da linha operacional no mesmo x_0.
    3. Ir para a curva de equilíbrio: o líquido após contato terá composição x_1 = \dfrac{y_{\text{op}}}{m}.
    4. Repetir x_{n+1} = \dfrac{\dfrac{L}{V}x_n + \bigl(y_S - \dfrac{L}{V}x_B\bigr)}{m} até atingir ou passar abaixo de x_B. Cada iteração = um estágio.

Passo 8

Cálculo numérico dos estágios para \,V=1\\ \mathrm{kmol/h} (contas explícitas)
  • Parâmetros: L=5,\quad V=1,\quad \frac{L}{V}=s=5,\quad b=y_S - s x_B = 0{,}01 - 5\cdot0{,}01 = -0{,}04,
m=5{,}814,\quad x_0=x_F=0{,}10.
  • Iterações (cada linha é um estágio):
    1. x_0=0{,}10000. y_{\text{op}}=s x_0 + b = 5\cdot0{,}10 - 0{,}04 = 0{,}46,
x_1=\frac{y_{\text{op}}}{m}=\frac{0{,}46}{5{,}814}=0{,}079118.
  1. x_1=0{,}079118. y_{\text{op}}=5\cdot0{,}079118-0{,}04=0{,}35559,
x_2=\frac{0{,}35559}{5{,}814}=0{,}061129.
  1. x_2=0{,}061129. y_{\text{op}}=5\cdot0{,}061129-0{,}04=0{,}265645,
x_3=\frac{0{,}265645}{5{,}814}=0{,}045676.
  1. x_3=0{,}045676. y_{\text{op}}=5\cdot0{,}045676-0{,}04=0{,}18838,
x_4=\frac{0{,}18838}{5{,}814}=0{,}03239.
  1. x_4=0{,}03239. y_{\text{op}}=5\cdot0{,}03239-0{,}04=0{,}12195,
x_5=\frac{0{,}12195}{5{,}814}=0{,}02097.
  1. x_5=0{,}02097. y_{\text{op}}=5\cdot0{,}02097-0{,}04=0{,}06485,
x_6=\frac{0{,}06485}{5{,}814}=0{,}01115.
  1. x_6=0{,}01115. y_{\text{op}}=5\cdot0{,}01115-0{,}04=0{,}01575,
x_7=\frac{0{,}01575}{5{,}814}=0{,}002708.
  • Interpretação dos resultados:
    • Após 6 estágios teóricos temos x_6\approx 0{,}01115, que ainda é um pouco maior que a especificação x_B=0{,}01.
    • Após 7 estágios teóricos obtemos x_7\approx 0{,}00271, que já está abaixo de x_B.
    • Portanto, para que o líquido saia com x\le 0{,}01 é necessário que a coluna tenha 7 estágios teóricos (ou seja, o 7º estágio leva a composição abaixo do alvo).

Passo 9

Conclusões finais e interpretação prática
  • A vazão mínima de vapor calculada indica quanto vapor (no limite de estágios infinitos) é necessário para conseguir a remoção desejada; como V=1\\ \mathrm{kmol/h} é um pouco maior que V_{\min}, a especificação é alcançável e requer um número finito de estágios que calculamos por iteração.
  • Observações práticas: na engenharia real a escolha de número de pratos e vapor disponível também leva em conta eficiências de prato, perdas, e segurança; os 7 estágios aqui são estágios ideais (teóricos). Também verifique se a suposição L\approx F é aceitável no contexto real (ela foi feita para simplificar o balanço e é geralmente usada em problemas didáticos de steam stripping).

Resposta

(a) V_{\min}\approx 0{,}788\\ \mathrm{kmol/h}
(b) Para V=1\\ \mathrm{kmol/h}: N=7 estágios teóricos

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