Nos Exercicios de 1 a 8 , calcule a integral iterada.
5.
\int_{-1}^{0} \int_{e}^{2 e} \int_{0}^{\pi / 3} y \ln z \operatorname{tg} x d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{y=-1}^{0}\int_{z=e}^{2e}\int_{x=0}^{\pi/3}y\,\ln z\,\tan x\,dx\,dz\,dy.
O conteúdo envolvido é integração de funções separáveis, usando a fórmula
\int \tan x\,dx = -\ln\bigl|\cos x\bigr| + C
e a fórmula de integração de \ln z:
\int \ln z\,dz = z\ln z - z + C.

Passo 2

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{\pi/3}\tan x\,dx =\bigl[-\ln\bigl|\cos x\bigr|\bigr]_{0}^{\pi/3} =-\ln\bigl(\cos\tfrac{\pi}{3}\bigr)+\ln\bigl(\cos 0\bigr).
Como \cos(\pi/3)=\tfrac12 e \cos0=1, isso dá
-\ln\bigl(\tfrac12\bigr)+\ln(1) =-(-\ln2)+0 =\ln2.

Passo 3

Substituindo o resultado do interior, a integral tripla vira
\int_{-1}^{0}\int_{e}^{2e}y\,\ln z\,\bigl(\ln2\bigr)\,dz\,dy =\ln2\int_{-1}^{0}y\Bigl(\int_{e}^{2e}\ln z\,dz\Bigr)dy.

Passo 4

Calcular
\int_{e}^{2e}\ln z\,dz =\bigl[z\ln z - z\bigr]_{e}^{2e} =\bigl(2e(\ln2+1)-2e\bigr)-\bigl(e\cdot1-e\bigr) =2e\ln2.

Passo 5

Logo a integral reduz-se a
\ln2\int_{-1}^{0}y\,(2e\ln2)\,dy =2e(\ln2)^2\int_{-1}^{0}y\,dy.
E
\int_{-1}^{0}y\,dy =\Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{-1}^{0} =0-\tfrac{1}{2} =-\tfrac12.

Passo 6

Multiplicando tudo:
2e(\ln2)^2\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) =-e\,(\ln2)^2.

Resposta

-e\,(\ln2)^2.

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