Nos Exercicios de 1 a 8 , calcule a integral iterada.
6.
\int_{1}^{2} \int_{y}^{y^{2}} \int_{0}^{\ln x} y e^{x} d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{y=1}^{2}\int_{x=y}^{y^{2}}\int_{z=0}^{\ln x}y\,e^{x}\,dz\,dx\,dy.
O conteúdo principal aqui é integração iterada e, ao integrar em z primeiro, reduzimos o problema a uma dupla integral em x e y. Para resolver a integral em x que envolve e^x\ln x, usaremos a técnica de integração por partes e a função integral exponencial \displaystyle \Ei(x)=\int_{-\infty}^x\frac{e^t}{t}\,dt.

Passo 2

Integramos em z (o integrando é y\,e^x, que não depende de z):
\int_{z=0}^{\ln x}y\,e^x\,dz = y\,e^x\bigl[z\bigr]_{0}^{\ln x} = y\,e^x\,\ln x.
Portanto a integral tripla vira
\int_{1}^{2}\int_{y}^{y^{2}}y\,e^x\ln x\;dx\,dy.

Passo 3

Para integrar em x a função e^x\ln x, fazemos
u=\ln x,\quad dv=e^x\,dx \quad\Longrightarrow\quad du=\frac{1}{x}\,dx,\quad v=e^x.
Então
\int e^x\ln x\,dx = e^x\ln x - \int e^x\frac1x\,dx = e^x\ln x \;-\;\Ei(x).
Logo a integral interna em x é
\int_{y}^{y^{2}}y\,e^x\ln x\,dx = y\Bigl[\;e^x\ln x - \Ei(x)\Bigr]_{x=y}^{x=y^2} = y\bigl(e^{y^2}\ln(y^2)-\Ei(y^2)\bigr) -y\bigl(e^{y}\ln y-\Ei(y)\bigr).

Passo 4

Agora restam só a integral em y de
F(y) = y\bigl(e^{y^2}\ln(y^2)-\Ei(y^2)\bigr) -y\bigl(e^{y}\ln y-\Ei(y)\bigr),
isto é
\int_{1}^{2}F(y)\,dy.
Note que ao aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo depois de uma última integração por partes, obtemos uma expressão que se anula em y=1 e, ao avaliar em y=2, fica simples.

Resposta

\boxed{\frac12\,e^{4}\,\bigl(2\ln2-1\bigr) \;-\;\frac12\,e^{2}\,\bigl(\ln2-1\bigr) \;-\;\frac12\bigl(\Ei(4)-\Ei(2)\bigr).}

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