Nos Exercicios de 1 a 8 , calcule a integral iterada.
2.
\int_{1}^{2} \int_{0}^{x} \int_{1}^{x+x y} x y d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla iterada
\int_{x=1}^{2} \int_{y=0}^{x} \int_{z=1}^{x + x y} x y \,dz\,dy\,dx.
Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo na ordem \mathrm{d}z, depois \mathrm{d}y e por fim \mathrm{d}x.

Passo 2

Primeiro integramos em z:
\int_{1}^{\,x + x y} x y \,dz = x y\bigl[(x + x y)-1\bigr] = x^2 y + x^2 y^2 - x y.

Passo 3

Agora integramos em y de 0 a x:
\int_{0}^{x}\bigl(x^2 y + x^2 y^2 - x y\bigr)\,dy = x^2\!\int_{0}^{x}y\,dy + x^2\!\int_{0}^{x}y^2\,dy - x\!\int_{0}^{x}y\,dy = \frac{x^2\cdot x^2}{2} + \frac{x^2\cdot x^3}{3} - \frac{x\cdot x^2}{2} = \frac12 x^4 + \frac13 x^5 - \frac12 x^3.

Passo 4

Finalmente, integramos em x de 1 a 2:
\int_{1}^{2}\Bigl(\tfrac12 x^4 + \tfrac13 x^5 - \tfrac12 x^3\Bigr)\,dx
A primitiva é
F(x)=\frac{x^5}{10}-\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{18}.

Passo 5

Avaliaremos F(2)-F(1):
F(2)=\frac{2^5}{10}-\frac{2^4}{8}+\frac{2^6}{18} =\frac{16}{5}-2+\frac{32}{9} =\frac{214}{45}, \quad F(1)=\frac{1}{10}-\frac{1}{8}+\frac{1}{18} =\frac{11}{360}.
Logo
F(2)-F(1) =\frac{214}{45}-\frac{11}{360} =\frac{189}{40}.

Resposta

\displaystyle \frac{189}{40}

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