Nos Exercicios de 1 a 8 , calcule a integral iterada.
8.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{y} \int_{0}^{\sqrt{3} x} \frac{z}{x^{2}+z^{2}} d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede a integral iterada
\int_{y=0}^{2}\!\int_{x=0}^{y}\!\int_{z=0}^{\sqrt{3}\,x}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dz\,dx\,dy.
Para resolver vamos primeiro integrar em z, usando a substituição u=x^{2}+z^{2}.

Passo 2

Calcular
\int_{0}^{\sqrt{3}\,x}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dz.
Fazendo u=x^{2}+z^{2}, temos du=2z\,dz, ou seja z\,dz=\tfrac12\,du. Quando z=0, u=x^{2}; e quando z=\sqrt{3}\,x, u=4x^{2}. Logo
\int_{0}^{\sqrt{3}\,x}\frac{z}{x^{2}+z^{2}}\,dz =\frac12\int_{u=x^{2}}^{4x^{2}}\frac{1}{u}\,du =\frac12\bigl[\ln u\bigr]_{x^{2}}^{4x^{2}} =\frac12\ln\frac{4x^{2}}{x^{2}} =\frac12\ln4 =\ln2.

Passo 3

Substituindo esse resultado na integral dupla restante, vem
\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{y}\ln2\,dx\,dy =\ln2\int_{0}^{2}\Bigl[\int_{0}^{y}dx\Bigr]dy =\ln2\int_{0}^{2}y\,dy =\ln2\cdot\frac{2^{2}}{2} =2\ln2.

Resposta

2\ln2

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