Nos Exercicios de 1 a 8 , calcule a integral iterada.
7.
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{x}^{\pi / 2} \int_{0}^{x z} \cos \frac{y}{z} d y d x d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla iterada
\int_{x=0}^{\pi/2}\!\int_{z=x}^{\pi/2}\!\int_{y=0}^{xz}\cos\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr)\,dy\,dz\,dx.
O conteúdo é integração iterada e vamos precisar fazer, em sequência, a integral em y, depois em z e finalmente em x.

Passo 2

Primeiro, integramos em y. Como aparece \cos(y/z), fazemos a troca de variável
u=\frac{y}{z}, \quad dy = z\,du,
e os limites y=0\mapsto u=0, y=xz\mapsto u=x. Assim
\int_{0}^{xz}\cos\!\bigl(\tfrac{y}{z}\bigr)\,dy =\int_{0}^{x}\cos(u)\,z\,du =z\int_{0}^{x}\cos(u)\,du =z\sin(x).
Logo a integral vira
\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{x}^{\pi/2} z\sin(x)\,dz\,dx.

Passo 3

Agora integramos em z:
\int_{z=x}^{\pi/2}z\,dz =\Bigl[\tfrac{z^2}{2}\Bigr]_{z=x}^{z=\pi/2} =\frac{(\pi/2)^2}{2}-\frac{x^2}{2} =\frac{\pi^2}{8}-\frac{x^2}{2}.
Então a integral reduz-se a
\int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\,\Bigl(\frac{\pi^2}{8}-\frac{x^2}{2}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Separando em duas integrais:
\frac{\pi^2}{8}\int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\,dx \;-\;\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}x^2\sin(x)\,dx.
A primeira é imediata:
\int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\,dx =[-\,\cos(x)]_{0}^{\pi/2}=1,
logo dá \pi^2/8.
Para \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}x^2\sin(x)\,dx usamos integração por partes duas vezes. O resultado conhecido é
\int_{0}^{\pi/2}x^2\sin(x)\,dx =\pi-2.
Assim o segundo termo vale \tfrac{1}{2}(\pi-2)=\tfrac{\pi}{2}-1.

Passo 5

Reunindo as duas partes:
\frac{\pi^2}{8} \;-\;\Bigl(\frac{\pi}{2}-1\Bigr) =1 +\frac{\pi^2}{8}-\frac{\pi}{2} =\frac{\pi^2-4\pi+8}{8}.

Resposta

\frac{\pi^2-4\pi+8}{8}.

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