Nos Exercicios de 1 a 8 , calcule a integral iterada.
6.
\int_{1}^{2} \int_{y}^{y^{2}} \int_{0}^{\ln x} y e^{x} d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{y=1}^{2}\int_{x=y}^{y^{2}}\int_{z=0}^{\ln x}y\,e^{x}\,dz\,dx\,dy.
O conteúdo principal é mudança de ordem de integração em integrais múltiplas e cálculo de antiderivadas simples.

Passo 2

Primeiro integramos em z, vendo que y\,e^{x} é constante em relação a z:
\int_{z=0}^{\ln x}y\,e^{x}\,dz =y\,e^{x}\,\bigl[z\bigr]_{0}^{\ln x} =y\,e^{x}\,\ln x.
A integral torna-se
\int_{y=1}^{2}\int_{x=y}^{y^{2}}y\,e^{x}\,\ln x\,dx\,dy.

Passo 3

Vamos inverter a ordem entre x e y. O domínio em (x,y) é
\{(x,y)\mid 1\le y\le2,\;y\le x\le y^{2}\}.
Para um x fixo, as desigualdades y\le x e x\le y^{2} dão
\sqrt{x}\le y\le x,
mas lembrando 1\le y\le2, temos duas faixas em x:
  • Se 1\le x\le2, então \sqrt{x}\ge1 e x\le2, logo y varia de \sqrt{x} até x.
  • Se 2\le x\le4, então \sqrt{x}\le2 e x\ge2, logo y varia de \sqrt{x} até 2.
Assim
\int_{y=1}^{2}\int_{x=y}^{y^{2}} =\int_{x=1}^{2}\int_{y=\sqrt{x}}^{x}+\int_{x=2}^{4}\int_{y=\sqrt{x}}^{2}.

Passo 4

Substituindo na integral já com o resultado em z, obtemos
\int_{x=1}^{2}\int_{y=\sqrt{x}}^{x}y\,e^{x}\,\ln x\,dy\,dx +\int_{x=2}^{4}\int_{y=\sqrt{x}}^{2}y\,e^{x}\,\ln x\,dy\,dx.
Em cada caso integramos primeiro em y:
\int y\,dy=\tfrac12\,y^{2},
portanto
\int_{y=\sqrt{x}}^{x}y\,dy =\tfrac12\bigl(x^{2}-x\bigr), \qquad \int_{y=\sqrt{x}}^{2}y\,dy =\tfrac12\bigl(4 - x\bigr).

Passo 5

Fatorando e^{x}\ln x e o \tfrac12, o valor da integral total fica
\frac12\int_{1}^{2}\bigl(x^{2}-x\bigr)\,e^{x}\,\ln x\,dx \;+\; \frac12\int_{2}^{4}\bigl(4 - x\bigr)\,e^{x}\,\ln x\,dx.

Resposta

\int_{1}^{2}\int_{y}^{y^{2}}\int_{0}^{\ln x}y\,e^{x}\,dz\,dx\,dy =\frac12\int_{1}^{2}\bigl(x^{2}-x\bigr)e^{x}\ln x\,dx +\frac12\int_{2}^{4}\bigl(4 - x\bigr)e^{x}\ln x\,dx.

Exercícios relacionados