Nos Exercicios de 1 a 8 , calcule a integral iterada.
6.
6.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
O conteúdo principal é mudança de ordem de integração em integrais múltiplas e cálculo de antiderivadas simples.
Passo 2
Primeiro integramos em
, vendo que
é constante em relação a
:
A integral torna-se
Passo 3
Vamos inverter a ordem entre
e
. O domínio em
é
Para um
fixo, as desigualdades
e
dão
mas lembrando
, temos duas faixas em
:
- Se
, então e , logo varia de até . - Se
, então e , logo varia de até .
Assim
Passo 4
Substituindo na integral já com o resultado em
, obtemos
Em cada caso integramos primeiro em
:
portanto
Passo 5
Fatorando
e o
, o valor da integral total fica